[BZOJ 1833] count 数字计数 数位DP（附数位DP总结）

题目传送门：【BZOJ 1833】

题目大意：给定两个正整数 a 和 b，求在 [a,b] 中的所有整数中，每个数码 (digit，指 0-9 ) 各出现了多少次。其中 a ≤ b ≤ 1012。

题目分析：

真正的题解在下面，前面为总结。

由题，观察这道题的题目性质及数据范围，那么，这道题用线性的 for 一遍肯定是不行的了；于是，我们考虑缩小数据处理范围。又因为这道题满足“前缀和相减”的性质，所以我们考虑使用数位 DP。

那么确定了方法之后，我们先要了解数位 DP 的做法。它通常是遍历每一位数，对每一位数及其之后的数统计答案。

以下的“第几位”指从低到高的位数。

实际上，数位 DP 有一个大体模型：

对这个数进行 dfs，通常，dfs 有两个必要的参数 dep(th) 和 limit；dep 表示现在遍历到第几位了，而 limit 表示这一位是否达到需要被处理到的极限。

[cpp] view plain copy print?int dfs(int dep,bool limit, … ){
if (dep==0){
return 1;
}
if (!limit){
处理每个ans;
return ans;
}

int cnt=0,tot=0;
int lim=(limit==true ? wei[dep] : 9);

for (int i=0;i<=lim;i++){
cnt=0;
cnt+=dfs(dep-1,limit && i==lim,lead && i==0);
处理每个cnt;
tot+=cnt;
}
return tot;
}

假设现在没有其他的附加条件。

例如，对于一个数 3456，当最高位（千位）为 0,1,2 时，后面几位可以随意取值（0-9皆可）；而当千位为 3 时，百位只能取到 0-4，所以这时我们要进入下一层查找。

当某一位取了一个值之后，接下来的几位都可以随意取值时，我们就可以将“可以随意取值”这个状态记录下来，这时我们就可以直接返回，避免浪费过多时间；所以，我们仅在无法随意取值的时候才进行递归查找操作。（当然也可以先预处理“可以随意取值”的状态）

而如果题目中有其他条件时（例如不能连续两位都是 1），我们可以增加一些新的参数；例如 prev 表示上一位取的数是多少，这时对于这个问题而言，如果上一个取了 1，那么这一位再取 1 将不是合法状态，所以此时我们就要把选 1 的情况排除掉（for 里面用一个 continue）。

那么对于这道题而言，它要求我们把每个数的出现次数统计出来，所以我们需要开两个桶，对于 [a,b]，一个用来装 [1,a] 的答案，另一个用来装 [1,b] 的答案。同时，我们在 dfs 里面新增一个参数 lead，表示它是否为“存在前导 0 ”的数。

设目前的这个数的位数为 i，令所有 i 位及以下的数（含前导 0）的答案为 fi，则 fi=10∗fi−1+10i−1；又令所有 i 位及以下的数（不含前导 0）的答案为 gi，则 gi=9∗gi−1+gi−1。

如果 dfs 在当前位 dep 含有前导 0，对于“0”这个数，我们只统计 gdep 的答案；否则，我们统计 fdep 的答案。对于 1-9，由于它们不存在前导“0”的情况，直接统计 fdep即可。根据前辈们的经验，最后输出的时候不能有多余的空格。

下面附上代码：

[cpp] view plain copy print?#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MX=13;
const int INF=0x3f3f3f3f;

LL f[MX],g[MX]; //f表示无前导0时,0-9的总方案数；
//g表示有前导0时,0这个数的总方案数
int wei[MX],top; //wei:每一位数的值
//top:总位数
LL bucket[10],temp[10]; //bucket:桶，存下0-9每一个数出现的次数
//temp: 临时的桶，开两个桶方便最后计算

LL fastpow(LL a,LL b){ //快速幂
LL r=1,base=a;
while (b){
if (b&1) r*=base;
base*=base;
b>>=1;
}
return r;
}
LL dfs(int dep,bool limit,bool lead){ //对每一位进行处理
//dep:当前位 limit:是否达到这道题的限制
//lead:是否有前导0
if (dep==0){
if (!lead) return 1;
else return 0;
}
if (!limit){
if (!lead) bucket[0]+=f[dep];
else bucket[0]+=g[dep];
for (int i=1;i<=9;i++){
bucket[i]+=f[dep];
}
return fastpow(10,dep)*(!lead);
}
LL cnt=0,tot=0; //cnt:这一位的计数
//tot:之后所有位的计数
int lim=(limit==true ? wei[dep] : 9);

for (int i=0;i<=lim;i++){
cnt=0;
cnt+=dfs(dep-1,limit && i==lim,lead && i==0);
bucket[i]+=cnt;
tot+=cnt;
}
return tot;
}

int main(){
LL a,b;
scanf(”%I64d%I64d”,&a,&b);
f[0]=f[1]=1;
for (int i=2;i<=12;i++){
f[i]=10*f[i-1]+fastpow(10,i-1);
g[i]=9*f[i-1]+g[i-1];

}

LL tempa=a-1,tempb=b; //根据前缀和计算
int w=0;

while (tempa){
wei[++w]=tempa%10;
tempa/=10;
}
top=w;
dfs(top,true,true);
for (int i=0;i<=9;i++){
temp[i]=bucket[i];
bucket[i]=0;
}

w=0;memset(wei,0,sizeof(wei));

while (tempb) {
wei[++w]=tempb%10;
tempb/=10;
}
top=w;
dfs(top,true,true);

for (int i=0;i<=9;i++){ //统计答案
printf(”%I64d”,bucket[i]-temp[i]);
if (i!=9) printf(“ ”);
}
return 0;
}