三门问题（Monty Hall problem）简析

问题内容：

你参加一档电视节目，节目组提供了ABC三扇门，主持人告诉你，其中一扇门后边有辆汽车，其它两扇门后是空的。

假如你选择了B门，这时，主持人打开了C门，让你看到C门后什么都没有，然后问你要不要改选A门？

问题答案：

要改。根据概率论的推导，在这种条件下，选A的命中率是2/3而选B的命中率是1/3。

分析：

很大一部分人在看到这个问题后的第一直觉都是换与不换一个样，命中率都应该是1/3，

或者说，在去掉了C这个选项之后，AB的命中率都应该是1/2才对。

这种想法似乎也没错，而且那个去掉的C也确实不符合我们大学时学的概率论的条件概率一说，那么问题到底出在哪里呢?

在这里，我有这样一种解释方法，希望可以帮助大家理解这个问题。

我们在计算概率的时候总要想一个全集的概念，也就是那个100%的概率1。

例如，在没有打开C门时，ABC的命中率都是1/3，那么全集就是A+B+C=1/3+1/3+1/3=1。

而打开C门之后，这个全集是什么呢？

我想，问题就出在这里。

通常的想法是A+B=1/2+1/2=1。那么这么想合适么？

按照A+B=1/2+1/2=1的计算方法，那么主持人问的就不应该是你要不要换，而是你在AB中再重新选择一次。

主持人问的是要不要换，所以这里的全集应该是“换+不换=1”，这就与A+B=1/2+1/2=1产生了区别。

换和不换，并不是1/2与1/2的关系，而是2/3与1/3的关系。这就是去除C带来的影响。

一个类似的问题与思考：

上边的分析个人感觉也很奇怪，因为换与不换和选A还是选B在本质上似乎并没有不同，但也只能理解到这个层次。

再拿一个类似的问题来佐证吧，

比如有100张彩票，其中只有一张有奖，你选了其中一张，

卖彩票的突然说，想帮帮你，去掉了其中50张没有奖的，现在问你，要不要重新选一次？

按通常的想法，原来的中奖率是1/100，若重新选一次，中奖率就是1/50。确实提高了。