机器学习——特征工程之主成分分析PCA
2017-10-10 22:14
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一、PCA简介
1、 定义:主成分分析是一种统计方法,通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为线性不相关,转换后的这组变量称为主成分。2、 主要应用场景:数据压缩;消除冗余;消除数据噪声;数据降维,可视化
3、 理论基础:最大投影方差理论、最小投影距离理论和坐标轴相关度理论
4、 直观理解:找出数据里最主要的成分,代替原始数据并使损失尽可能的小
a) 样本点到超平面的距离足够近
b) 样本点在这个超平面的投影尽可能的分开
二、PCA的推导:基于最小投影距离
1、 标准化后的m个数据 2、 新坐标系
,w是标准正交基
3、 数据在
维中的投影
,转换后的变量在原空间中的表示
4、 目标优化函数
5、 公式简化
则目标函数等价于
6、 求解变换矩阵W
a) 由拉格朗日乘子法可得
b) 对W求导取零求极值,有
,即
c) 可知W为的特征向量组成的矩阵,
为特征值
三、PCA的推导:基于最大投影方差
1、 符号表义如(二)中所示2、 任意样本
,新坐标系中的投影
,投影方差为
,最大投影方差的目标函数如下
3、 求解变换矩阵W(过程同二):
四、PCA算法流程
1、 中心化所有样本数据(标准化)2、 计算样本集的协方差矩阵
3、 对矩阵进行特征值分解,获得特征值和特征向量
4、 将特征值按照从大到小的顺序排序,选择其中最大的k个特征值对应的特征向量,标准化后组成变换矩阵W
5、 对每个样本进行投影变换以获得新(压缩后)的样本集
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