HDU - 2262 Where is the canteen 高斯消元求期望（浮点数）

hdu 2262

题意：

就是现在在一个n*m规模的趋于上从‘@’处出发开始, 每次都随机向前后左右四个方向中选择可以走的方向进入, ‘#‘不可走, 不能越过边界, 现在问到达终点’$’的期望步数, 终点可能有多个, 输入保证一定有起点 n, m <= 15, 如果无法到达任何一个终点输出-1

思路：

期望套路题,期望一般倒着求.

设dp[i]表示从当前位置到出口需要走的期望步数,显然终点的dp[i]=0.

假设当前点为dp[i]，那么此时的期望dp[i]=(dp[next1]+dp[next2]...dp[nextk])k+1

整理得 dp[next1]+dp[next2]...dp[nextk]−k∗dp[i]=−k 。

得到上面这个东西后我们可以对每个格子列一个方程.

a[0][0]*dp[0]+a[0][1]*dp[1]…..+a[0][n*m-1]*dp[n*m-1] = a[0][n*m]

….

a[n*m-1][0]*dp[0]+a[n*m-1][1]*dp[1]+……………………….. =a[n*m-1][n*m]

一共n*m个方程.

a[i][j]为0 或 1,1表示第j个格子是第i个格子的下一步,反之无影响.

关于处理a[][]，我们可以跑bfs记录一下哪些格子确认能走到,然后对于每个格子枚举判断一下他的上下步即可.

PS：另外一定要特判高斯消元无解的情况,。。。

正着逆着都可以.

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const double eps = 1e-7;
const int maxn = 3e2+5;
int n,m,flag;
bool book[20][20];
bool free_x[maxn];
char s[20][20];
int go[4][2] = {0,1,1,0,0,-1,-1,0};
double a[maxn][maxn], x[maxn];
int equ, var;
struct node
{
int x,y;
node(int xx = 0,int yy = 0)
{
x = xx;
y = yy;
}
};
int sgn(double x)
{
if(fabs(x) < eps)
return 0;
if(x > 0)
return 1;
return -1;
}
bool check(int i,int j)
{
if(i >= 0 && i < n && j >= 0 &&j < m && book[i][j] && s[i][j] != '#')
return 1;
return 0;
}
void bfs()
{
queue<node>Q;
while(!Q.empty()) Q.pop();
for(int i = 0;i < n;++i)
{
for(int j = 0;j < m ;++j)
{
if(s[i][j]=='$')
Q.push(node(i,j)),book[i][j] = 1;
}
}
node q;
while(!Q.empty())
{
q = Q.front(),Q.pop();
for(int i = 0;i < 4;++i)
{
int tx = q.x + go[i][0];
int ty = q.y + go[i][1];
if(tx < 0 || tx >= n || ty < 0 || ty >= m ||  book[tx][ty] || s[tx][ty] == '#')
continue;
//puts("1");
book[tx][ty] = 1;
Q.push(node(tx,ty));
}
}
return ;
}

/*
高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).
(0表示无解，1表示唯一解，大于1表示无穷解，并返回自由变元的个数)
*/
int Gauss()
{
equ=n*m,var=n*m;
int i,j,k;
int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
int col; // 当前处理的列.
double temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列.
memset(free_x,true,sizeof(free_x));
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(sgn(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0)
max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{ // 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(sgn(a[k][col])==0)
{ // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--; continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{ // 枚举要删去的行.
if (sgn(a[i][col])!=0)
{
temp=a[i][col]/a[k][col];
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp;
}
}
}
}

for(i=k;i<equ;i++)
{
if (sgn(a[i][col])!=0)
return 0;
}
if(k<var)
{
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
free_x_num=0;
for(j=0;j<var;j++)
{
if (sgn(a[i][j])!=0&&free_x[j])
free_x_num++,free_index=j;
}
if(free_x_num>1) continue;
temp=a[i][var];
for(j=0;j<var;j++)
{
if(sgn(a[i][j])!=0&&j!=free_index)
temp-=a[i][j]*x[j];
}
x[free_index]=temp/a[i][free_index];
free_x[free_index]=0;
}
return var-k;
}

for (i=var-1;i>=0;i--)
{
temp=a[i][var];
for(j=i+1;j<var;j++)
{
if(sgn(a[i][j])!=0)
temp-=a[i][j]*x[j];
}
x[i]=temp/a[i][i];
}
return 1;
}

int main()
{
int sx,sy;
while(~scanf("%d %d",&n,&m))
{
flag = 0;
memset(book,0,sizeof book);
memset(a,0,sizeof a);
for(int i = 0;i < n;++i)
{
scanf(" %s",s[i]);
for(int j = 0;j < m;++j)
{
if(s[i][j] =='@')
{
sx = i;
sy = j;
}
}
}
bfs();
for(int i = 0;i < n;++i)
{
for(int j = 0;j < m;++j)
{
if(s[i][j] == '#' || book[i][j] == 0) continue;
if(s[i][j] == '$')
{
a[i*m+j][n*m] = 0;
a[i*m+j][i*m+j] = 1;;
continue;
}
int cnt = 0;
for(int ii = 0;ii < 4;++ii)
{
int tx = i + go[ii][0];
int ty = j + go[ii][1];
if(check(tx,ty))
{
a[i*m+j][tx*m+ty] = 1;
cnt++;
}
}
a[i*m+j][i*m+j] = -1*cnt;
a[i*m+j][m*n] = -1*cnt;
}
}
Gauss();
if(Gauss() && book[sx][sy])
printf("%.6f\n",x[sx*m+sy]);
else
puts("-1");
}
return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const double eps = 1e-7;
const int maxn = 3e2+5;
int n,m,flag;
bool book[20][20];
bool free_x[maxn];
char s[20][20];
int go[4][2] = {0,1,1,0,0,-1,-1,0};
double a[maxn][maxn], x[maxn];
int equ, var;
struct node
{
int x,y;
node(int xx = 0,int yy = 0)
{
x = xx;
y = yy;
}
};
int sgn(double x)
{
if(fabs(x) < eps)
return 0;
if(x > 0)
return 1;
return -1;
}
bool check(int i,int j)
{
if(i >= 0 && i < n && j >= 0 &&j < m && book[i][j] && s[i][j] != '#')
return 1;
return 0;
}
void bfs()
{
queue<node>Q;
while(!Q.empty()) Q.pop();
for(int i = 0;i < n;++i)
{
for(int j = 0;j < m ;++j)
{
if(s[i][j]=='$')
Q.push(node(i,j)),book[i][j] = 1;
}
}
node q;
while(!Q.empty())
{
q = Q.front(),Q.pop();
for(int i = 0;i < 4;++i)
{
int tx = q.x + go[i][0];
int ty = q.y + go[i][1];
if(tx < 0 || tx >= n || ty < 0 || ty >= m ||  book[tx][ty] || s[tx][ty] == '#')
continue;
//puts("1");
book[tx][ty] = 1;
Q.push(node(tx,ty));
}
}
return ;
}

/*
高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).
(0表示无解，1表示唯一解，大于1表示无穷解，并返回自由变元的个数)
*/
int Gauss()
{
equ=n*m,var=n*m;
int i,j,k;
int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
int col; // 当前处理的列.
double temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列.
memset(free_x,true,sizeof(free_x));
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(sgn(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0)
max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{ // 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(sgn(a[k][col])==0)
{ // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--; continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{ // 枚举要删去的行.
if (sgn(a[i][col])!=0)
{
temp=a[i][col]/a[k][col];
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp;
}
}
}
}

for(i=k;i<equ;i++)
{
if (sgn(a[i][col])!=0)
return 0;
}
if(k<var)
{
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
free_x_num=0;
for(j=0;j<var;j++)
{
if (sgn(a[i][j])!=0&&free_x[j])
free_x_num++,free_index=j;
}
if(free_x_num>1) continue;
temp=a[i][var];
for(j=0;j<var;j++)
{
if(sgn(a[i][j])!=0&&j!=free_index)
temp-=a[i][j]*x[j];
}
x[free_index]=temp/a[i][free_index];
free_x[free_index]=0;
}
return var-k;
}

for (i=var-1;i>=0;i--)
{
temp=a[i][var];
for(j=i+1;j<var;j++)
{
if(sgn(a[i][j])!=0)
temp-=a[i][j]*x[j];
}
x[i]=temp/a[i][i];
}
return 1;
}

int main()
{
int sx,sy;
while(~scanf("%d %d",&n,&m))
{
flag = 0;
memset(book,0,sizeof book);
memset(a,0,sizeof a);
for(int i = 0;i < n;++i)
{
scanf(" %s",s[i]);
for(int j = 0;j < m;++j)
{
if(s[i][j] =='@')
{
sx = i;
sy = j;
}
}
}
bfs();
for(int i = 0;i < n;++i)
{
for(int j = 0;j < m;++j)
{
if(s[i][j] == '#' || book[i][j] == 0) continue;
if(s[i][j] == '$')
{
a[i*m+j][n*m] = 0;
a[i*m+j][i*m+j] = 1;;
continue;
}
int cnt = 0;
for(int ii = 0;ii < 4;++ii)
{
int tx = i + go[ii][0];
int ty = j + go[ii][1];
if(check(tx,ty))
{
a[i*m+j][tx*m+ty] = 1;
cnt++;
}
}
a[i*m+j][i*m+j] = -1*cnt;
a[i*m+j][m*n] = -1*cnt;
}
}
Gauss();
if(Gauss() && book[sx][sy])
printf("%.6f\n",x[sx*m+sy]);
else
puts("-1");
}
return 0;
}