初中数学的一些压轴题

题目1：

 


分析：已知的两个中点连起来起不到任何作用，并且跟已知条件AD=BC起不到任何关联，所以中点M和N注定是要分开使用的，看到中点找中点，在哪里找另一个中点，构造辅助中位线呢？我们可以试一下AD和BC的边，发现无法利用AD=BC的条件，这就告诉我们，在已有的线段上找中点是死胡同，赶快换个思路吧！我们来自己创造一条能取中点的边，比如ABCD的对角线AC，取AC的中点G，再连接GM和GN，在△ABC 中，中位线GM刚好是BC的一半，△ACD中，中位线GN刚好是AD的一半。

证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．
∵N是CD的中点，且NG∥AD，
∴NG=

1

2

AD，G是AC的中点，
又∵M是AB的中点，
∴MG∥BC，且MG=

1

2

BC
∵AD=BC
∴NG=GM
△GNM为等腰三角形
∴∠GNM=∠GMN
∵GM∥BF平行于（中位线平行于第三边的性质）
∴∠GMF=∠F
∵GN∥AD
∴∠GNM=∠DEN
∴∠DEN=∠F．



总结：难点就在如何找辅助线（中位线）看到中点找中点，找到对应辅助线



题目2：

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：（1）∠ADB=45°；（2）BE=2CD．



分析：由于BD既是高又是角平分线，由三线合一，很容易想到如果把BA、CD延长交于Q，就能构造出等腰三角形BCQ，再根据三线合一就知道BD也是中线，所以CQ=2CD，这样就把CD的两倍做出来了，接下来你就要证明CQ=BE了，观察图像，寻找CQ和BE所在的三角形，也就是证明三角形△ABE≌△ACQ
证明：



解答：证明：（1）∵CD⊥BE，∠BAC=90°

∴A、B、C、D四点共圆

∴∠ADB=∠ACB

∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

∴∠ACB=∠ABC=45°

∴∠ADB=45°；

（2）

延长BA和CD交于Q

∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°

∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°

∴∠ACQ=∠ABE
【在△ABE和△CDE中，因为∠DEC=∠AEB（对顶角相等）也能得出∠ACQ=∠ABE】

在△ABE和△ACQ中

∠ABE＝∠ACQ

AB＝AC

∠BAE＝∠CAQ

∴△ABE≌△ACQ（相似三角形的定义）

∴BE=CQ，

∵BD平分∠ABC

∴∠QBD=∠CBD

∵∠BDC=90°

∴∠BDC=∠BDQ=90°

在△QDB和△CDB中

∠QBD＝∠CBD

BD＝BD

∠BDQ＝∠BDC

∴△QDB≌△CDB（相似三角形的定义）

∴CD=DQ

∴CQ=2CD

∴BE=2CD

题目3：
如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则证明△ADE是等边三角形．



分析：条件很理想，因为三角形△ADE中已经有了一个60°的角，如果能再找一个60°的角，就能证明△ADE是等边三角形。
（如果学过四点共圆的化立即可以得出），只能在60°的基础上证等腰，还是找全等形，看上去△ABD和△ACE有点像，不过条件不足；
△ABD和△DEC呢？也有点像，但AD和DE不是对应边，也不行；还有三角形△DCE和△ACE也有点像，但是对应边也有问题，也不是要证的三角形的边。这是因为图中所有貌似全等的三角形都不全等，这道题的难度才会如此之大？

那么怎么处理呢？做辅助线构造全等三角形
既然要让AD和DE成为相等的对应边那么他们的对角也要相等，DE所对的是∠DCE，因为CE是角平分线，所以∠ACE是60°，所以∠DCE=120°
于是AD的对角也应该是120°，于是过D作AC的平行线交AB于P，∠BAC的同位角∠BPD=60°，这样就构造出了∠APD=120°，同时产生了等边三角形△BPD，，此外又得到了AP=CD，在△APD和△DCE中，AP=CD，∠APD=∠DCE，还差一个什么条件？不妨看看∠PAD和∠CDE，根据外角定理：∠ADC=∠PAD+∠B=∠PAD+60°，而∠ADC又是∠CDE和∠ADE拼接成的，又因为∠ADE=60°，所以得到∠CDE=∠PAD
证明：
过D作AC的平行线交AB于P
∴△BDP为等边三角形，BD=BP
∴AP=CD
∵∠BPD为△ADP的外角
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC（外角三角形定理得出）
在△ADP和△DEC中，
∵

∠DAP=∠EDC AP=DC ∠APD=∠DCE

∴△ADP≌△DEC（全等三角形）
∴AD=DE
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形