bzoj 1409: Password 矩阵乘法+线性筛

题意

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E
}，

且E[1] = E[2] = p（p为一个质数），E[i] = E[i-2]*E[i-1] （若2< i<=n）。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法，该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d，计算公式为：d = E
mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

分析

注意到两项相乘其实就相当于指数相加。因为p,q互质所以可以用欧拉定理。那么只要把不大于sqrt(n)的素数都筛出来，然后求出phi(q)，就可以矩阵快速幂算指数了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=50005;

int n,p,q,mo,prime[6005],tot;
bool not_prime
;
struct Matrix
{
LL a[3][3];

void unit(int n)
{
memset(a,0,sizeof(a));
for (int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
}
}a;

int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

void get_prime(int n)
{
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i;
for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
{
not_prime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
}

int ksm(int x,int y,int mo)
{
int ans=1%mo;
while (y)
{
if (y&1) ans=(LL)ans*x%mo;
x=(LL)x*x%mo;y>>=1;
}
return ans;
}

void mul(Matrix &c,Matrix a,Matrix b)
{
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
for (int i=1;i<=2;i++)
for (int k=1;k<=2;k++)
for (int j=1;j<=2;j++)
(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=mo;
}

Matrix Matrix_ksm(Matrix x,int y)
{
Matrix ans;ans.unit(2);
while (y)
{
if (y&1) mul(ans,ans,x);
mul(x,x,x);y>>=1;
}
return ans;
}

int main()
{
int T=read();p=read();
get_prime(50000);
while (T--)
{
n=read();q=read();mo=q;int tmp=q;
if (n<=2)
{
printf("%d\n",p%q);
continue;
}
for (int i=1;i<=tot&&prime[i]*prime[i]<=tmp;i++)
if (tmp%prime[i]==0)
{
mo=mo/prime[i]*(prime[i]-1);
while (tmp%prime[i]==0) tmp/=prime[i];
}
if (tmp>1) mo=mo/tmp*(tmp-1);
a.a[1][1]=0;a.a[1][2]=a.a[2][1]=a.a[2][2]=1;
a=Matrix_ksm(a,n-2);
printf("%d\n",ksm(p,(a.a[1][2]+a.a[2][2])%mo,q));
}
return 0;
}