【bzoj2257】【JSOI2009】瓶子和燃料

题意

  有n个瓶子，每个瓶子有一个容量Vi，从中选出k个

  有三种操作：

  ①.往瓶子a中灌满水

  ②.将水从a倒入b中，直到a空或者b满

  ③.把瓶子b中的水倒光

  对于选出的一组瓶子，尽量通过操作使得体积最小，求能够获得的最大体积的水

解法

数论：

   其实经过手玩几个小样例可以发现，能得到的水就是选出的k个瓶子容量V的gcd，那么可以考虑求出Vi的所有因子，然后将这些因子排序，找到最大的满足出现次数≥k的因子即是答案

  证明：

  首先假设有两个瓶子，容量分别为a和b，那么显然有：

  这两个瓶子能够凑出的体积数必定可以表示为：ax+by（x，y为整数）

  根据裴蜀定理：若a，b是整数,且gcd（a，b）=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x，y，使ax+by=d成立

  因此（a，b）|ax+by，所以根据最小的要求，答案就是（a，b）

复杂度

O（∑ni=1Vi‾‾√+cntlogcnt），cnt为质因子个数

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<map>
#define Lint long long int
using namespace std;
const Lint INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=3010;
int q[MAXN*MAXN],cnt;
int n,k;
map<int,int> f;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int k=1,x;k<=n;k++)
{
scanf("%d",&x);
for(int i=1;i*i<=x;i++)
if( x%i==0 )
{
q[++cnt]=i;
if( i*i!=x )   q[++cnt]=x/i;
}
}
sort( q+1,q+cnt+1 );
int tmp=cnt;cnt=0;
for(int i=1;i<=tmp;i++)
{
q[++cnt]=q[i],f[q[cnt]]++;
while( q[i+1]==q[cnt] && i+1<=tmp )   i++,f[q[cnt]]++;
}
for(int i=cnt;i>=1;i--)
if( f[q[i]]>=k )
{
printf("%d\n",q[i]);
break ;
}
return 0;
}