C语言 求最大公约数的三种方法，利用最大公约数求最小公倍数，通过分解质因数法来验证

这里列出三种求最大公约数的方法，用公式法就最小公倍数。

以及通过分解质因数法，来验证结果。分解质因数法我没有写出来。

质因数分解法：

最大公约数:

    把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。

最小公倍数：

   把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部  公有的质因数  和  独有的质因数  提取出来连乘，

            所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

/**
求最大公约数的三种方法，穷举法，相减法，辗转相除法
公式法求最小公倍数：a*b/gcd(a,b)
*/
#include <stdio.h>
int GCD(int,int);
static int GCD1(int n1,int n2);
static int GCD2(int a,int b);
int main()
{
    int n1, n2;
    int isEnd=1;
    while(isEnd==1)
    {
        isEnd='n';
        printf("输出两个数（以空格分割）：");
        scanf("%d %d",&n1,&n2);
        printf("%d和%d的最大公约数为%d\n",n1,n2,GCD(n1,n2));
        printf("%d和%d的最大公约数为%d\n",n1,n2,GCD1(n1,n2));
        //辗转相除法：使用递归
        printf("%d和%d的最大公约数为%d\n",n1,n2,GCD2(n1,n2));
        printf("%d和%d的   最小公倍数为%d\n",n1,n2,n1*n2/GCD2(n1,n2));
        //辗转相除法: 非递归
        printf("%d和%d的最大公约数为%d\n",n1,n2,GCD22(n1,n2));
        printf("%d和%d的   最小公倍数为%d\n",n1,n2,n1*n2/GCD22(n1,n2));
        //通过分解质因数验证：
        printPrimeFactor(n1);
        printPrimeFactor(n2);
        printf("继续[1/0]?:");
        scanf("%d",&isEnd);
    }
    printf("程序结束！\n");
    return 0;
}
//求最大公约数:穷举法
/*
穷举法1:
有两整数a和b：
① i=1
② 若a，b能同时被i整除，则gcd＝i
③ i++
④ 若 i <= a(或b)，则再回去执行②
⑤ 若 i > a(或b)，则t即为最大公约数，结束
*/
int GCD(int n1,int n2)
{
    int i;
    int gcd=0;
    for(i=1; i <= n1 && i <= n2; ++i)
    {
        // 判断 i 是否为最大公约数
        if(n1%i==0 && n2%i==0)//如果能n1,n2同时除尽这个数
            gcd = i;//那么这个数就是n1,n2的公约数,一遍循环之后就得到最大的公约数
    }
    return gcd;
}
/*
相减法:
有两整数a和b：
① 若a>b，则a=a-b
② 若a<b，则b=b-a
③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数
④ 若a≠b，则再回去执行①
例如求27和15的最大公约数过程为：
27－15＝12  ( 15>12 )  15－12＝3( 12>3 )
12－3＝9   ( 9>3 )  9－3＝6( 6>3 )
6－3＝3  ( 3==3 )
因此，3即为最大公约数
*/
static int GCD1(int n1,int n2)
{
/*
相减法:
有两整数a和b：
① 若a>b，则a=a-b
② 若a<b，则b=b-a
③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数
④ 若a≠b，则再回去执行①
*/
//④ 若a≠b，则再回去执行①
    while(n1!=n2)
    {
        if(n1 > n2)//① 若a>b，则a=a-b
            n1 -= n2;
        else
            n2 -= n1;//② 若a<b，则b=b-a
    }
    return n1;//若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数
}
/*
辗转相除法
有两整数a和b：
① a%b得余数c
② 若c=0，则b即为两数的最大公约数
③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①
例如求27和15的最大公约数过程为：
27÷15 余1215÷12余312÷3余0因此，3即为最大公约数
*/
//辗转相除法：使用递归
static int GCD2(int a,int b)
{
    int c=0;
    c=a%b;//① a%b得余数c
    if(c==0)
        return b;//② 若c=0，则b即为两数的最大公约数
    else
    {
//        ③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①
        a=b;
        b=c;
        GCD(a,b);
    }
}
/*
辗转相除法
有两整数a和b：
① a%b得余数c
② 若c=0，则b即为两数的最大公约数
③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①
例如求27和15的最大公约数过程为：
27÷15 余1215÷12余312÷3余0因此，3即为最大公约数
*/
//辗转相除法，非递归
int GCD22(int a, int b)
{
    int c;
    if(a<b)  // 取a，b中较大的一个数，a中存放较大的数，b中存放较小的数
    {
    // 不通过引入中间变量，通过异或运算来交换两个数的值
        a = a^b;
        b = a^b;
        a = a^b;
    }//保证a大于b
    c = a % b;  //① a%b得余数c
    while(c)//② 若c=0，则b即为两数的最大公约数
    {
        //③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①
        a = b;
        b = c;
        c = a % b; //① a%b得余数c
    }
    return b;  //② 若c=0，则b即为两数的最大公约数
}
//分解质因数：
void printPrimeFactor(int n)//对数n分解质因数
{
    printf("分解质因数：%d=",n);
    int factor=2;//最小的质因数为2
    int flag=0;
    while (factor <= n)//合数大于等于因数
    {
        if (n % factor == 0)//刚开始是除以2这个质数，一直除到到没有2的质数因数为止
        {
            n = n / factor;//除以这个质数
            if(flag==0)//if/else语句只是为了不输出第一个乘号“*”
                flag=1;
            else
                printf("*");//输出乘号
            printf("%d",factor);//输出质因数
        }
        else
        {
            factor++;//质因数加一，
        }
    }
    printf("\n");
}

测试：

输出两个数（以空格分割）：12 68
12和68的最大公约数为4
12和68的最大公约数为4
12和68的最大公约数为4
12和68的   最小公倍数为204
12和68的最大公约数为4
12和68的   最小公倍数为204
分解质因数：12=2*2*3
分解质因数：68=2*2*17
继续[1/0]?:1
输出两个数（以空格分割）：4 8
4和8的最大公约数为4
4和8的最大公约数为4
4和8的最大公约数为4
4和8的   最小公倍数为8
4和8的最大公约数为4
4和8的   最小公倍数为8
分解质因数：4=2*2
分解质因数：8=2*2*2
继续[1/0]?:1
输出两个数（以空格分割）：23 14
23和14的最大公约数为1
23和14的最大公约数为1
23和14的最大公约数为1
23和14的   最小公倍数为322
23和14的最大公约数为1
23和14的   最小公倍数为322
分解质因数：23=23
分解质因数：14=2*7
继续[1/0]?:0
程序结束！