背包九讲——01背包(降维+常数级优化)
2017-10-07 14:02
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题目:
共n个物体,第i个重量为w[i],价值v[i],背包最多能背不超过W的物体,求最大的价值分析: 每个物体只有一个,在容量允许时(W>w[i]),则对于每个物体只有取、不取两种选择
状态:dp[i][j]:前i个物体,在容量为j的时候,最大的价值 状态转移:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
二维核心:
for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 0; j<=W; j++)
{
if(j<w[i])
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}二维代码:
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
int w[100], v[100];
int dp[100][100];
int main()
{
freopen("a.txt", "r", stdin);
int n, W, i, j;
while(~scanf("%d%d", &W, &n))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 0; j<=W; j++)
{
if(j<w[i])
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
printf("%d\n", dp
[W]);
}
return 0;
}降维: 减行,第i个物体的更新,只依赖于第i-1个的物体的结果
所以可以用滚动数组,每次只存i和i-1时候的值 (可得:dp
[W] → dp[2][W] )
删行,第i个物体在容积为j状态的更新,只依赖i-1物体容量里j-w[i]的状态的结果
所以,从后面开始向前更新,则求j位置时候,j-w[i]的值依旧为i-1时候的值(可得:dp
[W] → dp[W] )一维核心:for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = W; j>=w[i]; j--) //从后向前,此时dp[j-w[i]]相当于dp[i-1][j-w[i]]
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
}一维代码:
初始化: 1、memset(dp, 0, sizeof(dp))
求不超过容积的W的最大价值
容积有剩余的状态依旧有值,为前一个恰好装满最优解的值
2、memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //负无穷、不可达点(当前值约为:-1e+10)
求恰好装满容积的最大价值(可能无解)
当且仅当恰好装满的状态有值,其他存在空白容积的状态无法到达
常数级优化: 一维中的内循环下限,由j>=w[i] → j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])} 1、下限为j>=w[i]时候 在所有剩余容积大于等于w[i]时候,选择取、不取第i物品
2、下限为j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}时候 只更新在i+1时候需要用到的状态,并不把所以可能状态求出常数级优化代码:#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include &l
b15e
t;algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
int w[100], v[100];
int dp[100];
int main()
{
freopen("a.txt", "r", stdin);
int n, W, i, j;
while(~scanf("%d%d", &W, &n))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
int lower, sum = 0;
for(i = 1; i<=n; i++)
{
if(i!=1) sum += w[i-1];
lower = max(sum, w[i]);
for(j = W; j>=lower; j--)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
}
printf("%d\n", dp[W]);
}
return 0;
}大神总结的,博客原址http://739789987.blog.51cto.com/8328242/1438296
共n个物体,第i个重量为w[i],价值v[i],背包最多能背不超过W的物体,求最大的价值分析: 每个物体只有一个,在容量允许时(W>w[i]),则对于每个物体只有取、不取两种选择
状态:dp[i][j]:前i个物体,在容量为j的时候,最大的价值 状态转移:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
二维核心:
for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 0; j<=W; j++)
{
if(j<w[i])
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}二维代码:
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
int w[100], v[100];
int dp[100][100];
int main()
{
freopen("a.txt", "r", stdin);
int n, W, i, j;
while(~scanf("%d%d", &W, &n))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 0; j<=W; j++)
{
if(j<w[i])
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
printf("%d\n", dp
[W]);
}
return 0;
}降维: 减行,第i个物体的更新,只依赖于第i-1个的物体的结果
所以可以用滚动数组,每次只存i和i-1时候的值 (可得:dp
[W] → dp[2][W] )
删行,第i个物体在容积为j状态的更新,只依赖i-1物体容量里j-w[i]的状态的结果
所以,从后面开始向前更新,则求j位置时候,j-w[i]的值依旧为i-1时候的值(可得:dp
[W] → dp[W] )一维核心:for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = W; j>=w[i]; j--) //从后向前,此时dp[j-w[i]]相当于dp[i-1][j-w[i]]
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
}一维代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <string> #include <math.h> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <vector> using namespace std; int w[100], v[100]; int dp[100]; int main() { freopen("a.txt", "r", stdin); int n, W, i, j; while(~scanf("%d%d", &W, &n)) { memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(i = 1; i<=n; i++) { scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); } for(i = 1; i<=n; i++) { for(j = W; j>=w[i]; j--) { if(j>=v[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]); } } printf("%d\n", dp[W]); } return 0; }
初始化: 1、memset(dp, 0, sizeof(dp))
求不超过容积的W的最大价值
容积有剩余的状态依旧有值,为前一个恰好装满最优解的值
2、memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //负无穷、不可达点(当前值约为:-1e+10)
求恰好装满容积的最大价值(可能无解)
当且仅当恰好装满的状态有值,其他存在空白容积的状态无法到达
常数级优化: 一维中的内循环下限,由j>=w[i] → j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])} 1、下限为j>=w[i]时候 在所有剩余容积大于等于w[i]时候,选择取、不取第i物品
2、下限为j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}时候 只更新在i+1时候需要用到的状态,并不把所以可能状态求出常数级优化代码:#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include &l
b15e
t;algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
int w[100], v[100];
int dp[100];
int main()
{
freopen("a.txt", "r", stdin);
int n, W, i, j;
while(~scanf("%d%d", &W, &n))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
int lower, sum = 0;
for(i = 1; i<=n; i++)
{
if(i!=1) sum += w[i-1];
lower = max(sum, w[i]);
for(j = W; j>=lower; j--)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
}
printf("%d\n", dp[W]);
}
return 0;
}大神总结的,博客原址http://739789987.blog.51cto.com/8328242/1438296
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