扩展欧几里得 与 乘法逆元

这里只总结结论，具体推导过程（http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595）这位博客主写的非常详细

先贴一个欧几里得求gcd(a,b)的模板：

long long gcd(long long a,long long b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

那么什么是扩展欧几里得？

就是求得ax+by=gcd(a,b)的算法

那么先贴一个模板：

long long gcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
long long r=gcd(b,a%b,y,x);     //注意这里x，y互换位置
y-=x*(a/b);           //记住y的表达式
return r;
}

然后可以得到一组解（Xo,Yo），其他解为（Xo+b/gcd*t,Yo-a/gcd*t）

那么扩展欧几里得的作用是什么呢？它可以求乘法逆元！

什么叫乘法逆元？



此时我们称x是a关于m的乘法逆元（联想x=a^(-1)）

这个式子可以等价于以下表达式：

ax=1+my即ax+my=1

所以当gcd(a,m)!=1时是没有解的，这也是ax+by=c有解的充要条件：c%gcd(a,b)==0；

然后，我们可以得到一个Xo是a的乘法逆元，那么怎么得到那个最小正整数解（乘法逆元）呢，其实Xo%m就是最小的正整数解了

一道裸模板题：HDU2669

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
long long r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
int main()
{
long long a,b,gcd,x,y,tx,ty;
while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)==2)
{
gcd=exgcd(a,b,x,y);
if(gcd!=1)
printf("sorry\n");
else
{
tx=abs(b/gcd);
ty=abs(a/gcd);
if(x>=0) while(x>=tx)
{
x-=tx;
y+=ty;
}
else
{
while(x<-tx)
{
x+=tx;
y-=ty;
}
x+=tx;
y-=ty;
}
printf("%lld %lld\n",x,y);
}
}
return 0;
}