洛谷P2401 不等数列

题目描述

将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有k个“<”。答案对2015取模。

注：1~n的排列指的是1~n这n个数各出现且仅出现一次的数列。

输入格式

第一行2个整数n,k。

输出格式

一个整数表示答案。

输入样例

5 2

输出样例

66

说明

对于30%的数据：n<=10

对于100%的数据：k<n<=1000

思路

令fi,j表示前i个数中有j个小于号的方案总数。设有一个数列是这样的：a<b<c>d<e>f这个是f6,3的一种方案，如何转移到f7,x就是问题的关键了。

转移到f7,x，就意味着要向这6个数中插一个7，观察它是否会增加（或减少）小于号的数量。如果向这个位置插入7：a<b由于7比原数列任何数都大，那么改变后的数列就是这样：

a<7>b不会增加也不会减少小于号的数量。

那么fi,j就可以从fi−1,j转移过来。

那么接下来的问题就是：有几种方法可以让fi,j从fi−1,j转移？

显然，插入每个小于号都可以这样转移，再加上数列开头的部分，一共j+1个。

接下来讨论另一种情况，向这个位置插入7：

c>d就变成了：

c<7>d会增加一个小于号的数量。

那么fi,j也可以从fi−1,j−1转移。

同理，插入每个大于号都可以这样转移，大于号的数量是(i−1)−j个，再加上数列结尾的1个，总共i−j个。

综上所述，状态转移方程是这样的：

fi,j=fi−1,j∗(j+1)+fi−1,j−1∗(i−j)

代码

#include <cstdio>

const int maxn=1000;
const int mo=2015;

int f[maxn+10][maxn+10],n,k;

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
f[0][0]=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
f[i][0]=1;
for(int j=1; j<=k; j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j-1]*(i-j)+f[i-1][j]*(j+1);
f[i][j]%=mo;
}
}
printf("%d\n",f
[k]);
return 0;
}