循环矩乘——Luogu3746/BZOJ4870 [SHOI2017]组合数问题

题面：BZOJ4870 Luogu3746

第一次接触循环矩乘。。。

首先我们可以考虑DP，f[i][j]表示在i个物品中选取modk下余j的方案数。

状态转移很好想，f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][(j−1+k)modk]

然后发现这个DP可以用矩乘优化，矩阵大概长这个样子：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢100⋅⋅⋅01110⋅⋅⋅00011⋅⋅⋅00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅000⋅⋅⋅10000⋅⋅⋅11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

如果直接矩乘的话时间复杂度是O(k3logn)，可以通过了

但是可以发现每一行都是上一行向右移一位，这是一个循环矩阵

循环矩阵有一个性质，循环矩阵自乘还是循环矩阵

所以其实我们只需记录第一行的信息就可以了，因为下面的信息可以通过上面信息平移得到

所以我们就可以把矩阵乘法这个地方优化到O(k2)，总的时间复杂度是O(k2logn)，很优秀了

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <map>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <climits>
#include <set>
#include <vector>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int k=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){k=k*10+ch-'0';ch=getchar();}
return k*f;
}
struct juzhen{
int a[510];
inline void clear(){memset(a,0,sizeof a);}
}f;
int t,n,k,r,MOD;
inline juzhen cheng(juzhen a,juzhen b){
juzhen c;c.clear();
for(int i=0;i<k;i++)
for(int j=0;j<k;j++)c.a[(i+j)%k]=(c.a[(i+j)%k]+a.a[i]*b.a[j]%MOD)%MOD;
return c;
}
inline juzhen mi(juzhen a,int b){
juzhen x,y;x=a;y=a;
while(b){
if(b&1)x=cheng(x,y);
y=cheng(y,y);b>>=1;
}
return x;
}
signed main()
{
n=read();MOD=read();k=read();r=read();
f.clear();
f.a[0]++;f.a[1%k]++;
f=mi(f,n*k-1);
printf("%lld\n",f.a[r]);
return 0;
}