[lucas+数位DP] 2017 计蒜之道 复赛 E. 商汤智能机器人

这题就是，把坐标斜一下看，相当于一个网格图，可以对角线走。

如果不能对角线走就是经典的组合数了，所以我们可以尝试枚举经过多少条对角线边来写出答案的式子，设 A=x+y2,B=x−y2 , 则有

ans=∑i=0B(A+B−ii)∗(A+B−2iA−i)

就是共走 A+B−i 步，其中选 i 步是斜着走的，剩下的就经典的组合数一下。

由于这个上下都有 i 不太好，所以变形一下：

=(A+B−i)!i! (A−i)! (B−i!)=(A+B−i)! B!i! (A−i)! (B−i!) B!=(Bi)∗(A+B−iB)

然后就变成求 ∑i=0B(Bi)∗(A+B−iB) 了。

注意到模数 P=100003 ,容易想到 lucas 。实际上这里有个数位 DP + lucas 的套路，就是P进制下一位一位填，每位一个组合数的贡献。

这题注意到有 A+B−i ,数位 DP 如果有减法的话就要考虑借位，显然每次只可能借1，只需多加一个 [0/1] 状态表示上一位是否提前减了1，加 P 到这位。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100015,P=100003;
int a[30],b[30];
LL A,B,fac[maxn],fac_inv[maxn],inv[maxn],f[30][2][2];
LL C(int n,int m){
if(n<m) return 0;
return fac
*fac_inv[m]%P*fac_inv[n-m]%P;
}
int Solve(){
LL now=A+B; do a[++a[0]]=now%P, now/=P; while(now);
now=A; do b[++b[0]]=now%P, now/=P; while(now);
f[a[0]+1][0][0]=1;
for(int i=a[0]+1;i>=2;i--)
for(int j1=0;j1<=1;j1++)
for(int j2=0;j2<=1;j2++) if(f[i][j1][j2]){
int t=j1?P-1:a[i-1], lst=j2?P:0;
for(int k=0;k<=t;k++){
if(0<=a[i-1]+lst-k&&a[i-1]+lst-k<P)
(f[i-1][j1|(k<t)][0]+=f[i][j1][j2]*C(b[i-1],k)%P*C(a[i-1]+lst-k,b[i-1])%P)%=P;
if(0<=a[i-1]+lst-k-1&&a[i-1]+lst-k-1<P)
(f[i-1][j1|(k<t)][1]+=f[i][j1][j2]*C(b[i-1],k)%P*C(a[i-1]+lst-k-1,b[i-1])%P)%=P;
}
}
return (f[1][0][0]+f[1][1][0])%P;
}
int main(){
freopen("jskE.in","r",stdin);
freopen("jskE.out","w",stdout);
fac[0]=1; for(int i=1;i<=P-1;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
inv[1]=1; for(int i=2;i<=P-1;i++) inv[i]=(LL)(P-P/i)*inv[P%i]%P;
fac_inv[0]=1; for(int i=1;i<=P-1;i++) fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%P;
LL x,y; scanf("%lld%lld",&x,&y);
if ((x+y)%2!=0||x<y) return printf("0\n"),0;
A=(x+y)/2,B=(x-y)/2;
printf("%d\n",Solve());
return 0;
}