bzoj2177/51nod-1213 曼哈顿距离最小生成树

算法分析

对不起我写这个的时候我们国庆节只放了一天假，所以我精神有点不正常…大家忽略一些不太对的东西即可。

原理分析

曼哈顿距离：对于两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，它们之间的曼哈顿距离为|x1-x2|+|y1-y2|

那么如何迅速地求曼哈顿距离最小生成树呢？我们找到一个点p1,然后以它为原点建立坐标轴，那么它只需要与这八个区域里的每个区域和它曼哈顿距离最近的点连一条边即可。



这是为什么呢？我们以R2区域为例，如果有两个点P2和P3，P3与P1的曼哈顿距离更小，那么：



dis(指曼哈顿距离）：dis(P1,P3)+dis(P3,P2)<=dis(P1,P2)+dis(P2,P3），当且仅当如图情况时，可以取到等号。所以嘛，基佬紫的P2和原谅绿的P3显然比P2和滑稽脸的P1关系好些，你们就不要打扰它们的友谊♂啦。

实现分析

那么根据边是无向的，对于每一个点P1，我们就只考虑R1,R2,R3,R4啦。

比较好的一点是我们只考虑R1,然后：

1.第一次操作不搞事

2.第二次交换x,y坐标

3.第三次将x坐标都变成相反数

4.第四次交换x,y坐标

如图所示。



那么R1区域满足一个条件，在只考虑R1,R2,R3,R4时（即x2>=x1)对于R1区域的任意点P2

y2-y1>=x2-x1（R3,R4区域里y2-y1就是负数，x2-x1还是整数）

即y2-x2>=y1-x1

那么我们每次考虑的就是满足x2>=x1并且y2-x2>=y1-x1的点咯。

那么我们找的就是y2-y1+x2-x1最小，即(y2+x2)-(y1+x2)最小的点。

我们可以把所有点先按照横坐标排序，离散它们的y2-x2，然后从左到右依次将点根据y2-x2的值丢进树状数组里，并维护它们x2+y2的最小值。每次查询y2-x2>=y1-x1的点里面x2+y2最小的点P2并连边，最后用kurscal求出最小生成树即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<climits>
using namespace std;
const int N=50005;
int n,cnt,m;
int b
,f
,mi
,bh
;
struct point{int x,y,id;}p
;
bool cmp1(point a,point b){
if(a.x==b.x)return a.y<b.y;
else return a.x<b.x;
}
struct edge{int x,y,w;}e[N<<3];
bool cmp2(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
void init(){
int i;sort(p+1,p+1+n,cmp1);
for(i=1;i<=n;++i)
b[i]=p[i].y-p[i].x,bh[i]=-1,mi[i]=INT_MAX;
sort(b+1,b+1+n);
cnt=1;for(i=2;i<=n;++i)if(b[i]!=b[cnt])b[++cnt]=b[i];
}
int lowbit(int x){return x&(-x);}//以下是树状数组
int find(int x){
int minn=INT_MAX,re=-1;
while(x<=n){
if(mi[x]<minn)minn=mi[x],re=bh[x];
x+=lowbit(x);
}
return re;
}
void up(int x,int num,int ids){
while(x){
if(mi[x]>num)mi[x]=num,bh[x]=ids;
x-=lowbit(x);
}
}
void adde(int x,int y,int w){e[++m].x=x,e[m].y=y,e[m].w=w;}
int dis(int a,int b){return abs(p[a].x-p[b].x)+abs(p[a].y-p[b].y);}
int ff(int x){//并查集查找操作
if(f[x]==x)return x;
f[x]=ff(f[x]);return f[x];
}
void kurscal(){//最小生成树
int i,r1,r2,ans=0,js=0;
for(i=1;i<=n;++i)f[i]=i;
sort(e+1,e+1+m,cmp2);
for(i=1;i<=m;++i){
r1=ff(e[i].x),r2=ff(e[i].y);
if(r1!=r2)f[r1]=r2,ans+=e[i].w,++js;
if(js==n-1)break;
}
printf("%d",ans);
}
int main(){
int i,cas,kl,x;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;++i)
scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y),p[i].id=i;
for(cas=1;cas<=4;++cas){
if(cas==2||cas==4)
for(i=1;i<=n;++i)swap(p[i].x,p[i].y);
else if(cas==3)
for(i=1;i<=n;++i)p[i].x=-p[i].x;
init();
for(i=n;i>=1;--i){
kl=lower_bound(b+1,b+1+cnt,p[i].y-p[i].x)-b;
x=find(kl);
if(x!=-1)adde(p[i].id,p[x].id,dis(i,x));
up(kl,p[i].x+p[i].y,i);
}
}
kurscal();
return 0;
}