【hihocoder 1298】 数论五·欧拉函数
2017-10-04 18:44
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【题目链接】:http://hihocoder.com/problemset/problem/1298
【题意】
【题解】
用欧拉筛法;
能够同时求出1..MAX当中的所有质数和所有数的欧拉函数的值;
基于
以下理论;
如果
①
n=p^k;这里p是某个质数;
(则只有p的倍数和n是不互质的)
则
phi[n]=pk−1−(pk/p−1)=(p−1)∗pk−1
②
n为质数;
phi
= n-1
③
若n和p互质;则
phi[n∗p]=phi[n]∗phi[p]
根据上面那3个结论;
①若i为p的倍数;
则phi[i*p]=phi[i]*p;
因为若i是p的倍数;
则
i可以表示为p^k*m
这里m是其他质数的乘积
显然p^k和m互质
则
phi[i] = phi[p^k]*phi[m] = (p-1)*p^(k-1)*phi[m]
phi[i*p]
=phi[p^(k+1)*m]
=phi[p^(k+1)]*phi[m]
=(p-1)*p^k*phi[m]
=(p-1)*p^(k-1)*phi[m]*p
=phi[i]*p
②若i不是p的倍数;
则i和p互质
则phi[i*p]=phi[i]*(p-1);
这里会枚举i和质数p;
容易联想到欧拉筛法;
在做素数筛法的时候顺便把欧拉函数也求出来就好;
【Number Of WA】
0
【完整代码】
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 #define LL long long #define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++) #define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--) #define mp make_pair #define pb push_back #define fi first #define se second #define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x) typedef pair<int,int> pii; typedef pair<LL,LL> pll; const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1}; const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1}; const double pi = acos(-1.0); const int N = 5e6+100; const int MAX = 5e6; bool iszs ; vector <int> zsb; int phi ,l,r; int main() { ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);//scanf,puts,printf not use ms(iszs,true); rep1(i,2,MAX) { if (iszs[i]) { zsb.pb(i); phi[i] = i-1; } int len = zsb.size(); rep1(j,0,len-1) { int t = zsb[j]; if (i*t>MAX) break; iszs[i*t] = false; if (i%t==0) { phi[i*t] = phi[i]*t; break; } else phi[i*t] = phi[i]*(t-1); } } cin >> l >> r; int ans = l; rep1(i,l+1,r) if (phi[ans]>phi[i]) ans = i; cout << ans << endl; return 0; }
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