BZOJ 1041 [HAOI2008]圆上的整点【几何】

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

 科普视频

以下转自：http://hzwer.com/1457.html

【分析】：

样例图示：



首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

然后想数学方法。





有了上面的推理，那么实现的方法为：

枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

【时间复杂度分析】：

枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll r,ans,d,a;
ll gcd(ll x,ll y){return x%y?gcd(y,x%y):y;}
bool check(ll y ,double x)
{
if(x==floor(x)){
ll x1=(ll)floor(x);
if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)return 1;
}
return 0;
}

int main()
{
scanf("%lld",&r);
for(d=1;d<=(ll)sqrt(r<<1LL);d++)
if((r<<1LL)%d==0){
for(a=1;a<=(ll)sqrt((r<<1LL)/(d<<1LL));a++)
if(check(a,sqrt(((2*r)/d)-a*a)))ans++;
if(d!=(r<<1LL)/d)
for(a=1;a<=(ll)sqrt(d>>1LL);a++)if(check(a,sqrt(d-a*a)))ans++;
}
printf("%lld",(ans+1)<<2LL);
}