51nod 1257 背包问题 V3

二分法




分数规划

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1257 背包问题 V3


基准时间限制：3 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题


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N个物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数），从中选出K件物品（K <= N)，使得单位体积的价值最大。

Input

第1行：包括2个数N, K(1 <= K <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行2个数Wi, Pi（1 <= Wi, Pi <= 50000)

Output

输出单位体积的价值（用约分后的分数表示）。

Input示例

3 2
2 2
5 3
2 1

Output示例

3/4

https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1257
这个题之前一直想不通，最后是发现缺乏分数规划的知识。。知道了分数规划，，就知道 ，，这个题二分秒过 = =、。

关于分数规划

摘自 http://blog.csdn.net/orpinex/article/details/6973778

分数规划问题，是指这样一类问题：

要求f(x)/g(x)的最值，其中f(x),g(x)都是线性函数，而其中被研究的最多的是0-1分数规划，即求这样的一个式子的极值

r=(∑(ci*xi))/(∑(di*xi))，其中xi∈{0,1}

我们可以把这个式子变换一下

z=(∑(ci*xi))-r'*(∑(di*xi))，其中z是左边这个式子的最大(小)值

由于di为正数，xi为非负数，所以

r'>r 时 z(r')<0

r'=r 时 z(r')=0

r'<r 时 z(r')>0

易证z函数严格单调递减，那么我们可以二分r'，直到z(r')=0,此时r'=r，问题得解

PS：z函数也是凸函数

除了二分，还有一种算法叫Dinkelbach算法

每次将r'代入z函数中计算以后，我们将得到一组x

让r''=(∑(ci*xi))/(∑(di*xi))

当r''=r'时，r''就是我们需要的解

否则将r'=r''，继续迭代

这种方法比二分法要快一点

等于利用分数规划。。二分答案，然后判断答案是否成立 - -