NOIP2016模拟赛 运 （DP+逆元）

运

【问题背景】

zhx和妹子们玩数数游戏。

【问题描述】

仅包含4或7的数被称为幸运数。

一个序列的子序列被定义为从序列中删去若干个数，剩下的数组成的新序列。

两个子序列被定义为不同的当且仅当其中的元素在原始序列中的下标的集合不相等。对于一个长度为N的序列，共有2N个不同的子序列。（包含一个空序列）。

一个子序列被称为不幸运的，当且仅当其中不包含两个相同的幸运数。

对于一个给定序列，求其中长度恰好为K的不幸运子序列的个数，答案mod 109+7输出。

【输入格式】

第一行两个正整数N，K，表示原始序列的长度和题目中的K。

接下来一行N个整数ai，表示序列中第i个元素的值。

【输出格式】

仅一个数，表示不幸运子序列的个数。（mod 109+7）

【样例输入】

3 2

1 1 1

【样例输出】

3

【样例输入】

4 2

4 7 4 7

【样例输出】

4

【样例解释】

对于样例1，每个长度为2的子序列都是符合条件的。

对于样例2，4个不幸运子序列元素下标分别为：{1, 2}, {3, 4}, {1, 4}, {2, 3}。

注意下标集{1, 3}对应的子序列不是“不幸运”的，因为它包含两个相同的幸运数4。

【数据规模与约定】

对于50%的数据，1≤N≤16。

对于70%的数据，1≤N≤1000, ai≤10000。

对于100%的数据，1≤N≤100000, K≤N, 1≤ai≤109。

题目分析：随便乱找NOIP的模拟题，就找到了这题，感觉是道不错的DP。不要问我为什么是2016年的-_-!!!

首先很明显：不管原序列如何打乱，选择的方案数是不变的。因为这题中区别两种选择方案的唯一依据就是其元素在原序列中的下标，而打乱后的序列和原序列的元素是一一对应的。接下来又可以发现，幸运数字的个数不会超过1024个，于是我们将相同的幸运数字排在一起，并规定相同的幸运数字里只能选一个。做一个简单的DP求出选了i个幸运数的方案数f[i]，则还要在非幸运数中XJB选k-i个，对答案的贡献就是f[i]∗Ck−in，其中n是非幸运数的个数。组合数的话阶乘+逆元搞搞就可以了。

CODE（因为不知道可以上哪个OJ测，所以也不知道对不对，随便写了写。有错误欢迎指出）：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=100100;
const int maxm=2000;
const long long M=1000000007;
typedef long long LL;

struct data
{
int val;
bool lucky;
} a[maxn];

LL f[maxm][maxm];
int num[maxm];
int cur=0;

LL fac[maxn];
int n,k;
LL X,Y;

bool Comp(data x,data y)
{
return ( x.lucky>y.lucky || ( x.lucky==y.lucky && x.val<y.val ) );
}

void Exgcd(int x,int y)
{
if (!y)
{
X=1,Y=0;
return;
}
Exgcd(y,x%y);
int u=Y,v=X-x/y*Y;
X=u,Y=v;
}

LL C(int x,int y)
{
if (x<y) return 0;
LL temp=fac[x];
Exgcd(M,fac[y]);
if (Y<0) Y+=M;
temp=temp*Y%M;
Exgcd(M,fac[x-y]);
if (Y<0) Y+=M;
temp=temp*Y%M;
return temp;
}

int main()
{
freopen("lucky.in","r",stdin);
freopen("lucky.out","w",stdout);

scanf("%d%d",&n,&k);
for (int i=1; i<=n; i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
a[i].val=x;

bool flag=true;
while (x)
{
int y=x%10;
if ( y!=4 && y!=7 ) flag=false;
x/=10;
}
a[i].lucky=flag;
}

sort(a+1,a+n+1,Comp);
int h=1;
while (h<=n)
{
if (!a[h].lucky)
{
num[cur+1]=n-h+1;
break;
}
int t=h;
while (a[t+1].val==a[h].val) ++t;
num[++cur]=t-h+1;
h=t+1;
}

f[0][0]=1;
for (int i=1; i<=cur; i++)
{
f[i][0]=1;
for (int j=1; j<=cur; j++)
f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(long long)num[i]%M)%M;
}

fac[0]=1;
for (int i=1; i<=n; i++) fac[i]=fac[i-1]*(long long)i%M;
LL ans=0;
for (int i=0; i<=k; i++) ans=(ans+ f[cur][i]*C(num[cur+1],k-i)%M )%M;
printf("%I64d\n",ans);

return 0;
}