Data Structure: Segment Tree 线段树

线段树主要用于Range Query. 适用问题在：这个大区域的某个子区间最小值，这个大区间的某个子区间的和等等。线段树的某个叶子节点都是代表一个大区间的元素。

为什么要使用线段树？

那先让我们看看，如果不使用线段树，上述的求某个子区间最小值的问题该如何解决。

方案1：每次query都去遍历一次子区间。如果有m次查询，有n个元素的话，时间复杂度就是O(mn)。 

方案2：设置一个matrix，x, y 两个方向都是区间的元素。(0, 3)代表从0到3的最小值。那么建立这么一个matrix需要O(n^2)的空间复杂度和时间复杂度。查询只需要O(1)。但是如果有update就十分麻烦。

线段树的优点在于：

O(n)的时间负责度和空间复杂度去建立。

O(logn)的查询复杂度。

首先，我们需要知道线段树的几个性质：

1）线段树是一棵完全二叉树；

2）基于性质1，线段树适合使用数组进行存储，因为中间空值不多；

3）存储线段树的数组长度 = ceil (大于原数组长度的2的次方数) * 2 - 1。譬如，原数组的长度是4，4刚好是2的2次方。所以长度 = 4 * 2 - 1 = 7. 但原数组长度是5，则存储数组长度是：8 * 2 - 1 = 15. 

所以，任何数组的线段树存储数组的长度都不超过4n，n是原来数组的长度。建立线段树数组时候，用上这个性质。

这里，我们稍微温习一下使用数组来存储完全二叉树的两个例子：1）堆 2）线段树

利用数组来存储树有两个很重要的性质：

1）当前节点index为i，其两个孩子的index为：2 * i + 1（左）, 2 * i + 2（右）

2) 反之，父节点的index为：(i - 1) / 2，截尾得到int. 

线段树的建立逻辑和查询逻辑都是依据线段树的实际意义建立的。线段树的每个节点代表一个区间，叶子节点的区间是左右两个值相等，代表一个元素。父节点代表两个子节点区间的并集。直到根节点代表整个区间。

利用上述实际意义，建立线段树的逻辑是：

1）递归建立；

2）终止条件：区间左右两个值相等，直接得到当前局部最优解

3）否则，二分递归；

4）得到最小情况后，回归得到当前局部最优解（类似动归的思想）

查询的逻辑在代码中有所体现：

Totally match：当前的节点代表的区间 [start, end] 满足 qStart <= start && end <= qEnd，返回当前节点的值。

No match: start > qEnd || end < qStart

Partical match：则是不满足上述两种情况。

代码如下：

public class Solution {
// range minimum query
// only the current root is relative to segment tree.
public void createSeg(int[] array, int[] seg, int start, int end, int curRoot) {
if (start == end) {
seg[curRoot] = array[start];// leaves
return;
}
int mid = start + (end - start) / 2;
createSeg(array, seg, start, mid, 2 * curRoot + 1);
createSeg(array, seg, mid + 1, end, 2 * curRoot + 2);
seg[curRoot] = Math.min(seg[2 * curRoot + 1], seg[2 * curRoot + 2]);
}

public int rangeQuery(int[] seg, int qStart, int qEnd, int start, int end, int curRoot) {
// think about 3 kinds
// 1) Total match. Current [start, end] is total match qStart and qEnd or is totally a subset of qStart and qEnd. Return its value.
// 2) Not match. None of elements of current [start, end] is in [qStart, qEnd], return INT_MAXVALUE
// 3) Partial match. Some of current [start, end] are in [qStart, qEnd] while the others are not. Continue recursion to its children.
if (start >= qStart && end <= qEnd) {
return seg[curRoot];
}
if (start > qEnd || end < qStart) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
int mid = start + (end - start) / 2;
return Math.min(rangeQuery(seg, qStart, qEnd, start, mid, 2 * curRoot + 1), rangeQuery(seg, qStart, qEnd, mid + 1, end, 2 * curRoot + 2));
}

public static void main(String[] args) {
int[] array = new int[]{-1,1,2,4,-2,6};
Solution ins = new Solution();
int n = array.length;
// Maximum length of seg = 4*n;
int[] seg = new int[4 * n];
ins.createSeg(array, seg, 0, 5, 0);
System.out.println(ins.rangeQuery(seg, 0, 3, 0, 5, 0));
}
}

复杂度分析：

* Time complexity to create segment tree is O(n) since new array will be at max 4n size

* Space complexity to create segment tree is O(n) since new array will be at max 4n size

* Time complexity to search in segment tree is O(logn) since you would at max travel 4 depths

* Time complexity to update in segment tree is O(logn)