一元隐函数及其求导

在说到隐函数(Implicit function)之前，先回想一下显函数(Explicit function).

0.显函数(Explicit function)

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。即总能写成y=f(x)的形式。

1.隐函数(Implicit function)

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

一般来说如果能将一个隐函数转换成y=f(x)的形式，则称这个过程叫做隐函数的显化，如x2+y2=1,x∈[0,1]则可以显化为y=1−x2−−−−−√，但在绝大数情况下隐函数是不能显化，或者难以显化的，如x3+y3=6xy，其形状如下：



所以说，隐函数的数量是远远多于显函数的，因为每一个显函数都能隐化，但不是每一个隐函数都能显化。

2.隐函数求导(Implicit Differentiation)

从上一点我们可以知道，一般来讲隐函数都代表这一类曲线，如：x2+y2=r2表示一个圆，x2a2−y2b2=1表示双曲线(hyperbolic)。而我们往往需要求这些曲线F(x,y)=0在某一点处的切线和法线。那么此时，就需要求这个方程所确定的函数y=y(x)的导数dydx。

但通常情况下，不能显化的隐函数该如何求导呢？

2.1直接求导法

方程F(x,y)=0两端对自变量x求导，将式子中的y视为y(x)，然后化简解出dydx即可。

例如，设方程x2+y2=1确定了函数y=y(x),(y>0),求导数dydx

(x2+y2)′(x2)′+(y2)′2x+2y⋅y′⟹y′=(1)′⋯对方程两边同时求导=0=0⋯复合函数求导=−xy

2.2公式求导法

假设隐函数F(x,y)=0，其中y=y(x)，则有F[x,y(x)]≡0，例如(F(x,y)=x2+y2−1=0其中，y=±1−x2−−−−−√，则有F[x,y(x)]≡0)

下面对F[x,y(x)]≡0两边同时对x求导

{F[x,y(x)]}′Fx⋅1+Fy⋅dydx⟹dydx=−FxFy(Fy≠0)≡0≡0

例如，y5+2y−x−3x7=0，求dydx

易知，F(x,y)=y5+2y−x−3x7 ,且有：

Fx=−1−21x6;Fy=5y4+2⟹dydx=−FxFy=1+21x65y4+2

感谢徐小湛老师的《高等数学》视频