常见算法基础题思路简析(四)-二分搜索篇

常见算法基础题思路简析(四)-二分搜索篇

标签： algorithms

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本文对和 二分搜素 有关的常见算法基础题思路分类进行分析和总结，并以 Java 为例，适当指出需要注意的编程细节

相关题目和代码在 GitHub: https://github.com/brianway/algorithms-learning

题目见

com.brianway.learning.algorithms.lectures.binarysearch

包

求完全二叉树的节点个数

题目见

CountNodes

思路：

计算根节点到最左节点的高度 h

同理，计算根节点到其右孩子的最左节点的高度 hr

如果 h > hr，则节点个数为：根节点右子树的节点数+1(根节点)+根节点左子树的节点数

如果 h <= hr，则节点个数为 根节点左子树的节点数+1(根节点)+根节点右子树的节点数

注意：

计算 hr 时，

current = root.right

, 初始值为 1（代表根节点）

h > hr，说明右子树为满二叉树，高度为 h-2，

根节点右子树的节点数+1

可直接计算,为

2^(h-2)

同理，h <= hr，说明左子树为满二叉树，高度为 h-1

最左原位

题目见

Find

思路：类似二分搜索，当

a[i]=i

时终止，有序数组且元素各不相等，所有 a[i] 每次的增量是要大于下标 i 每次的增量 1 的。

判断边界条件

lo = 0, hi = n-1，开始二分搜索

若

a[i] > i

，则 任意 j > i，有

a[j] > j

，所以只可能出现在左半部分，故 hi = mid - 1

若

a[i] < i

，则 任意 j < i，有

a[j] < j

，所以只可能出现在右半部分，故 lo = mid + 1

注意：

边界条件：

arr[0] > n - 1 || arr[n - 1] < 0

时无解，直接返回

最后求得

arr[mid] ＝ mid

->

res ＝ arr[mid]

后，记得赋值

hi = mid - 1

，且不能跳出循环，因为要找 最左原位，所以需要继续循环下去。

元素最左出现

题目见

LeftMostAppearance

思路：这里就是一个简单的二分查找，唯一不同的是，当

arr[mid] ＝ num

时，不是在

res ＝ mid

后直接退出循环，而是需要赋值

hi = mid - 1

继续循环

局部最小值位置

题目见

LocalMin

思路：

判断两端边界情况，满足条件（

arr[0]<arr[1]

或者

arr[n-2]>arr[n-1]

）则直接返回结果

判断

arr[mid]

和

arr[mid - 1]

的大小，若

arr[mid]

大，则一定有个局部最小出现在左边

否则，判断

arr[mid]

和

arr[mid + 1]

的大小，若

arr[mid]

大，则一定有个局部最小出现在右边

若都不满足，则局部最小为

arr[mid]

注意：

注意数组为空，长度为 1，以及其他边界情况

思路中 2，3 步的依据就是，先有 1 中段边界判断，所以一定有两端元素大于其紧邻元素（

arr[0]>arr[1]

且

arr[n-1]>arr[n-2]

）。数组要么一直递减到边界的紧邻元素从而结束循环，要么在这个过程中遇到某个局部最小，所以一定是有解的。

循环有序数组最小值

题目见

MinValue

思路：循环有序数组截出一个连续的子数组还是循环有序的。在每次循环中进行一下判断：

若

arr[lo] < arr[hi]

，说明子数组已经升序，直接返回

arr[lo]

。 否则，说明数组不升序，进行下面的步骤

若

arr[lo] > arr[mid]

，最小值出现在左半部分

若

arr[lo] < arr[mid]

，最小值出现在右半部分（因为说明

arr[lo] ~ arr[mid]

是升序的）

若

arr[lo] ＝ arr[mid]

，最小值为第一个小于

arr[lo]

或者就是

arr[lo]

本身

注意：

注意可能有重复元素的问题，所以在遇到

arr[lo] = arr[mid]

时，需要遍历

lo ~ hi

之间的元素来找到最小值

这里的左右指针更新需要注意，

hi = mid

和

lo = mid

,而不是

mid-1

和

mid+1

,因为不能漏掉元素

快速N次方

题目见

QuickPower

思路：求出 k 的 1，2，4，8....次方作为中间值 tmp，减少相乘的次数

每次把 N 右移一位，若该位为 1，则将结果乘以中间值 tmp

每次令中间值 tmp 等于自己的平方（对应于第一步中的位移操作）

注意：

注意越界问题，按题目要求，求 mod 某个数后的结果

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