POJ3666 Making the Grade & Codeforces 713C

POJ3666题目大意

给定一个序列，可以变化其中的数字，总代价为|A1 - B1| + |A2 - B2| + … + |AN - BN|

求最少的代价，使这个序列变为单调不严格上升或下降序列

这个题应该是DP来做的，但是如何设计状态呢？？

可以发现，在每个位置，答案和两个因素有关（只考虑不严格上升）

1.目前序列中的最大值，这个最大值越小，接下来就越好接数字

2.前一位的最大值，越小越好

这样就可以设计一个DP状态：设dp[i][j]为前i个位置中最大值为j时的最小花费，但是这样的话就需要枚举所有可能的j，好大的说。。。

有个可以用来离散化的想法是，无论某个数怎么变化，都一定会变化为原数列的某个数，不会产生新的数。这个想法很难解释，我得YY一下。我想是因为无论某个数怎么变化，都是和原来数列中的数比较（假设现在只变化这一个数），那么不管是递增还是递减，这个数要和最接近它的数比较，比较之后，如果这个数比较大，那只需要降到和最接近它的数相同；如果比较小，则需要升到相同。

产生一个全新的数要么不合法，要么过头了，浪费操作。

离散化操作：把输入的数列a[]排序后得到b[]数组

那么对于一个x和a
(n为除了i和i+1以外的下标)，若有b[i]<x<b[i+1]

则a
最少花费的转移一定是到b[i]或者b[i+1]的

离散化后的转移则是

dp[i][j]=|a[i]−b[j]|+min(dp[i−1][k])k⩽j

然后发现这个k是可以优化掉的，用一个变量minn保存下来，更新j的时候同时更新minn，就不用每次都去枚举k了。

最后就是，数据有bug，只需要求一次上升就可以了。。。

如果要再求一次下降的并取min

可以把原序列倒过来，求一次上升，相当于求了下降

另外，CF的713C跟这题基本上一样

求的是严格上升序列操作

代码上唯一的不同是输入的时候加了

for(int i=1; i<=n; i++) {
cin >> a[i];
a[i] -= i; //和POJ3666唯一不同的地方
b[i] = a[i];
}

这里就可以YY一下了，首先我们需要把ai≤ai+1转换为ai<ai+1

那么有这种巧妙的方法：

ai<ai+1⟺ai≤ai+1−1

ai≤ai+1−1⟺ai−i≤ai+1−i−1

ai<ai+1⟺ai−i≤ai+1−(i+1)

这样我们求一个a[i]-i序列不严格上升的最少花费，就等价于求一个a[i]序列严格上升的最少花费。

//POJ3666 Making the Grade
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Abs(a) ((a)>0?(a):-(a))
using namespace std;
#define debug(x) cerr <<#x<<"="<<x<<endl;
const int MAXN = 2010;
int n ,a[MAXN],b[MAXN];
long long dp[MAXN][MAXN];
int main() {
cin >> n;
for(int i=1; i<=n; i++) {
cin >> a[i];
b[i] = a[i];
}
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1; i<=n; i++) {
long long minn = dp[i-1][1];
for(int j=1; j<=n; j++) {
minn = min(minn, dp[i-1][j]);
dp[i][j] = abs(a[i]-b[j]) + minn;
}
}
long long ans = dp
[1];
for(int i=2; i<=n; i++)
ans = min(ans,dp
[i]);
printf("%I64d",ans);
return 0;
}

//CF 713C
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define debug(x) cerr <<#x<<"="<<x<<endl;
const int MAXN = 3010;
int n ,a[MAXN],b[MAXN];
long long dp[MAXN][MAXN];
int main() {
cin >> n;
for(int i=1; i<=n; i++) {
cin >> a[i];
a[i] -= i; //和POJ3666唯一不同的地方
b[i] = a[i];
}
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1; i<=n; i++) {
long long minn = dp[i-1][1];
for(int j=1; j<=n; j++) {
minn = min(minn, dp[i-1][j]);
dp[i][j] = abs(a[i]-b[j]) + minn;
}
}
long long ans = dp
[1];
for(int i=2; i<=n; i++)
ans = min(ans,dp
[i]);
printf("%I64d",ans);
return 0;
}