bzoj1009 [HNOI2008]GT考试（AC+矩乘优化dp）

Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2….Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。

他的不吉利数学A1A2…Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2…Xn中没有恰好一段等于A1A2…Am. A1和X1可以为

0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100

111

Sample Output

81

分析：

第一眼：这难道不是一道数位dp吗

f[i][j][k][0/1][0/1][0/1][0/1]

第i位，添的数字是j，和模式串的第k位相不相同[0/1]，模式串的1~k-1位是不是都匹配上了，1~i位中有没有模式串，卡不卡上界

一看数据范围，数位dp就等着吔shi吧。。。

所以这又是一道dp

暴力dp的话，和文本生成器一样

在构建AC自动机的时候，

有一个语句是普通的AC自动机不具有的

for (i=0;i<=9;i++)
if (!ch[0][i]) ch[0][i]=++tot;

这样在之后是有用的

N的范围使我们不得不考虑优化，因为只有一个字符串

每个状态都是由固定的几个转移而来的，这就让我们想到了矩阵优化

那我们就要来构造矩阵了

首先明确状态转移方程：

f[i][j] 表示匹配到i位置，在AC自动机上的j节点

f[i][j]向i+1转移，枚举0~9，如果下一个节点不是ed节点

那么我们就可以继续转移

现在我们就要构造一个tot（AC自动机上的节点数量）*tot的矩阵

H[当前点][可以转移点]=1

这时AC自动机中看似多余的语句，就起了作用了：

任何不存在于M中的数字都可以看作是根节点



说实话，f[1]的初始化我是看不大懂的

最后的答案实际上就是在H矩阵自乘完之后，再乘上一个f[1]

把值都加起来

for (int i=1;i<=tot;i++)
{
t[i]=0;
for (int j=1;j<=tot;j++)
t[i]=(t[i]+f[1][j]*ans.H[j][i]%p)%p;
sum=(sum+t[i])%p;
}

tip

在KSM的时候，只用自乘n-1次，因为f[1]我们已经处理出来了

所有需要循环AC自动机节点的地方，都是从1开始的

除了在处理f[1]的时候：

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long

char s[30];
int q[1010],tou,wei,fail[1010],ch[300][30],tot=0,f[2][1001];
bool ed[1010];
int p,n,m,k;
struct node{
int H[100][100];
node operator *(const node &a)const
{
node ans;
for (int i=1;i<=tot;i++)
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
ans.H[i][j]=0;
for (int k=1;k<=tot;k++)
ans.H[i][j]=(ans.H[i][j]+H[i][k]*a.H[k][j]%p)%p;
}
return ans;
}
void print(node ans)
{
for (int i=1;i<=tot;i++)
{
for (int j=1;j<=tot;j++)
printf("%d ",ans.H[i][j]);
printf("\n");
}
}
void clear()
{
memset(H,0,sizeof(H));
}
node KSM(int pp)
{
node a=(*this),an=(*this);
pp--;
while (pp)
{
if (pp&1)
an=an*a;
a=a*a;
pp>>=1;
}
return an;
}
};
node H,ans;

void insert()
{
int i,now=0;
for (i=0;i<strlen(s);i++)
{
int x=s[i]-'0';
if (!ch[now][x]) ch[now][x]=++tot;
now=ch[now][x];
}
ed[now]=1;
for (i=0;i<=9;i++)
if (!ch[0][i]) ch[0][i]=++tot;
}

void makefail()
{
tou=wei=0;
for (int i=0;i<=9;i++)
if (ch[0][i])
q[++wei]=ch[0][i];
do
{
int r=q[++tou];
for (int i=0;i<=9;i++)
{
if (!ch[r][i])
{
ch[r][i]=ch[fail[r]][i];
continue;
}
fail[ch[r][i]]=ch[fail[r]][i];
ed[ch[r][i]]|=ed[fail[ch[r][i]]];
q[++wei]=ch[r][i];
}
}
while (tou<wei);
}

void build()
{
H.clear();
for (int i=1;i<=tot;i++)
if (!ed[i])   //不是结束节点
for (int j=0;j<=9;j++)
{
if (ed[ch[i][j]]) continue;
H.H[i][ch[i][j]]=1;
}
}

int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
scanf("%s",s);
insert();
makefail();
build();
ans=H.KSM(n-1);
for (int i=0;i<=tot;i++)
{
if (ed[i]) continue;
for (int j=0;j<=9;j++)
f[1][ch[i][j]]+=(i==0);
}
int t[100];
int sum=0;
for (int i=1;i<=tot;i++)
{
t[i]=0;
for (int j=1;j<=tot;j++)
t[i]=(t[i]+f[1][j]*ans.H[j][i]%p)%p;
sum=(sum+t[i])%p;
}
printf("%d",sum%p);
return 0;
}