bzoj1016 [JSOI2008]最小生成树计数(kruskal+dfs+乘法原理)

首先需要一个结论，对于一个图的不同最小生成树，每种方案所包含的每种权值的边的数量一定一致。换句话说，把每种方案包含的所有边的边权都写下来，写出来的序列一定都一样。关于这个结论的说明放在最后。

这样的话，可以先做一遍kruskal，记下每种边权的使用次数，然后对于每种边权进行dfs，判断有多少种合法的组合方式【一种方案合法意味着：1.加入每条边时，边的两端点一定属于不同的并查集，也就是仍然要符合kruskal的要求。2.加入的总边数等于开始统计的使用次数。第一条要求也就决定了不能用组合数进行计算，只能dfs，而因为相同边权的边不超过10，再加上一些最简单的剪枝，运行速度很快。】，然后用乘法原理即可。

注意：

1.dfs的时候要回溯，所以这里的并查集不能进行路径压缩。

2.处理完每种边之后要把这些边加上去，这才是kruskal的过程。

3.考虑图不连通，即不存在最小生成树的情况。

最后说一下原理。考虑kruskal的过程，只有当这一权值的边全部考虑之后才会考虑权值比他大的边。举个最简单的例子，假设有两种方案，第一种方案有边x1，x4，第二种有边x2，x3，且x1< x2< x3< x4。因为一条边只能连接两个连通块，那么x2，x3中一定有一个能起到x4的作用，那么这个能起作用的点和x1组成的方案才是最小生成树。

既然这样，不同的方案从何而来呢？来自于相同的权值的边，在排序后的顺序不同，而他们又起着相同的作用（也就是连接相同的联通块）【因为如果作用不一样的话，他们应该都被纳入方案】，那么先考虑这个和先考虑那个就会得出不同的方案。

于是，我们对每一组权值相同的边，知道了他们总的使用次数以后，进行暴力的枚举统计方案数。因为我们知道，不管怎么选，最后的结果，也就是给后面带来的影响，都是相同的【因为如果影响不同，那么就不应该现在从中挑选，当初kruskal的时候应该都选进来。】

原文地址:http://blog.csdn.net/sdfzyhx/article/details/52075151

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 110
#define M 1010
#define mod 31011
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int n,m,cnt=0,tot=0,fa
,ans=1,sum=0;
struct edge{
int x,y,val;
}e[M];
struct node{
int l,r,num;//同一权值的左起位置和右至位置，这一权值的边在MST出现的数目
}a[M];
inline bool cmp(edge x,edge y){
return x.val<y.val;
}
inline int find(int x){return x==fa[x]?x:find(fa[x]);}
void dfs(int i,int x,int k){//k--在MST中出现的次数
if(x==a[i].r+1){
if(k==a[i].num) sum++;return;
}
int xx=find(e[x].x),yy=find(e[x].y);
if(xx!=yy){//选这条边
fa[xx]=yy;dfs(i,x+1,k+1);fa[xx]=xx;
}dfs(i,x+1,k);//不选这条边
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;++i) e[i].x=read(),e[i].y=read(),e[i].val=read();
sort(e+1,e+m+1,cmp);for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;++i){
if(e[i].val!=e[i-1].val){a[cnt].r=i-1;a[++cnt].l=i;}
int xx=find(e[i].x),yy=find(e[i].y);
if(xx!=yy){
fa[xx]=yy;a[cnt].num++;tot++;
}
}a[cnt].r=m;
if(tot!=n-1){puts("0");return 0;}
for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=cnt;++i){
sum=0;dfs(i,a[i].l,0);ans=ans*sum%mod;
for(int j=a[i].l;j<=a[i].r;++j){
int xx=find(e[j].x),yy=find(e[j].y);
if(xx!=yy) fa[xx]=yy;
}
}printf("%d\n",ans);
return 0;
}