裴蜀定理详解+例题： BZOJ 1441 MIN

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：
　　ax + by = m
　　有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。
　　例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。
　　特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。
　　裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。
 
 

证明：

(1)若b=0,则(a,b)=a.这时定理显然成立。
　　(2)若a,b不等于0.
　　∵(a,b)=(a,-b)∴不妨设a,b都大于零，a>=b,(a,b)=d
　　对ax+by=d，两边同时除以d，可得(a1)x+(b1)y=1，其中(a1,b1)=1。
　　转证(a1)x+(b1)y=1。由带余除法：
　　a1=(q1)b+(r1),其中0=<r1<b1
　　b1=(q2)(r1)+(r2),其中0=<r2<r1
　　(r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0=<r3<r2
　　.....
　　(rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)
　　(rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)
　　(rn-1)=(qn+1)(rn)
　　于是，有(a1,b1)=(b1,r1)=(r1,r2)=...=(rn-1,rn)=1
　　故
　　(rn-2)=(xn)(rn-1)+1
　　即1=(rn-2)-(xn)(rn-1)
　　由倒数第三个式子（rn-1）=(rn-3)-(xn-1)(rn-2)代入上式，得
　　1=[1+(xn)(xn-1)](rn-2)-(xn)(rn-3)
　　然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去(rn-2),...(r1),
　　可证得1=(a1)x+(b1)y。

推广：

 
以上定理可推广到n个，n≥2
　　如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.
　　另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数

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例题：

Description

给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1*X1+...An*Xn>0,且S的值最小

Input

第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数

Output

S的最小值

Sample Input

2

4059 -1782

Sample Output

99

题解：裴蜀定理模板题，其实就是扩展欧几里得，ax+by=c;其中一定是c一定是gcd（a  ，b）的倍数，所以每读入一次，就将前面的看做一个整体。求gcd；


总结：整体思想。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n;
int gcd(int a,int b)
{
if(!b) return a;
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int ans=0,x;;
scanf("%d",&n);n--;
scanf("%d",&ans);ans=abs(ans);
while(n--)
{
scanf("%d",&x);
x=abs(x)	;
if(ans<x) swap(ans,x);
ans=gcd(ans,x);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}