[BZOJ1925][SDOI2010]地精部落-动态规划

地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；

对于 40%的数据，满足 N≤18；

对于 70%的数据，满足 N≤550；

对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

想出来了一种做法，然后花了很久去理解第二种……

思路:

这里只提一个认为很巧妙的方法。

首先，说到计数问题那么就是DP了。

然后是如何DP：

首先钦定，只有递增的不合法情况将会被认做不合法。

也就是说，如果一个位置上的数在配合它的前一个数的前提下，应该比前一个数小，但它却比前一个数大，就认为这个数不合法。

如 5 1 2 3 4 这个序列，3没有配合2以使2是一个山峰，同时4也没有配合3，并且它们都是因为比前一个数更大而未能配合前一个数，因此3和4均不合法。反之，虽然5 1 4 3 2中的2虽然也有不配合的情况，但不是因为比前一个数更大而未能配合前一个数，因此暂不考虑。

可以发现，每一个不合法位置形成的区间翻转一下，一定能对应另一个没有被考虑到的，递减的不合法区间。因此，在统计完钦定的情况后，将答案乘以2再输出即可。

现在考虑状态和转移:

考虑已经构造了一个1-n的排列。

咱采用f[i][j]来描述，当前已经构造好了一个1-n的排列，且有j个数不合法。

如果咱想要把它延长成一个1-n+1的排列——换句话说，把n+1这个数插进去，当前排列可以产生哪些变化呢？

对于这个数，有n+1个空隙可供选择。

考虑到，因为这个数目前为止最大，所以把它插到哪里，它后面的那个数都会是合法的。

考虑j值不变的情况，发现每一个排列都仅会在这个数被插到倒数第二个或最后一个位置时，j值不变。

比如，考虑每一种情况的某个实例:

显然倒数第二个是否合法是不会受影响的。
原最后一个不合法: 5 1 2 3 -> 5 1 2 3 4 : j+=1 或 5 1 2 3 -> 5 1 2 4 3 : j不变
原最后一个为合法: 5 1 3 2 -> 5 1 3 2 4 : j不变 或 5 1 3 2 -> 5 1 3 4 2 : j+=1

可以发现只有这两个位置有可能使j保持不变，且对于任意一个排列，只有其中一个能使j不变，而另一个则会使j+=1，归入另一类。

那么，得到了第一个转移方程:

f[i+1][j]+=f[i][j]

考虑会使j-=1的情况:

可以发现，只有把它插在不合法数的前面，才能使j-=1。

就像这样:

4 1 2 3 5 -> 4 1 2 6 3 5 , 3,5不合法 -> 6不合法

那么因为不合法的数有j个，得:

f[i+1][j−1]+=f[i][j]∗j

反之，对于会使j+=1的情况，就是插在合法的数的前面了。例子也是差不多的。

因为合法的数有i-j个，得:

f[i+1][j+1]+=f[i][j]∗(i−j)

然后就可以直接DP了~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=4209;
typedef long long ll;

inline ll read()
{
ll x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0' || '9'<ch)ch=getchar();
while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
return x;
}

ll n,p,f

;

int main()
{
n=read();
p=read();
f[1][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
{
f[i+1][j]=(f[i+1][j]+f[i][j])%p;
f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+f[i][j]*(i-j)%p)%p;
f[i+1][j-1]=(f[i+1][j-1]+f[i][j]*j%p)%p;
}
printf("%lld\n",(f
[0]<<1)%p);
return 0;
}
<
fa10
/pre>