BZOJ 3991 寻宝游戏 （dfs序 RMQ set维护动态链的并集）

3991: [SDOI2015]寻宝游戏

Time Limit: 40 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

小B最近正在玩一个寻宝游戏，这个游戏的地图中有N个村庄和N-1条道路，并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时，玩家可以任意选择一个村庄，瞬间转移到这个村庄，然后可以任意在地图的道路上行走，若走到某个村庄中有宝物，则视为找到该村庄内的宝物，直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。小B希望评测一下这个游戏的难度，因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化，有时某个村庄中会突然出现宝物，有时某个村庄内的宝物会突然消失，因此小B需要不断地更新数据，但是小B太懒了，不愿意自己计算，因此他向你求助。为了简化问题，我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

Input

第一行，两个整数N、M，其中M为宝物的变动次数。

接下来的N-1行，每行三个整数x、y、z，表示村庄x、y之间有一条长度为z的道路。

接下来的M行，每行一个整数t，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄t内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄t内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。

Output

M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。

Sample Input

4 5

1 2 30

2 3 50

2 4 60

2

3

4

2

1

Sample Output

0

100

220

220

280

HINT

1<=N<=100000

1<=M<=100000

对于全部的数据，1<=z<=10^9

思路：

考虑每个点到根节点的链的并集。

将虚树中的所有点按照DFS序排序，将每个点的深度统计入答案，将相邻两个点之间的LCA的深度从答案中扣除，就是所有点到根的链的并集的长度。

DFS序排序后相邻两个点之间重复的路径最长，所以这样算一定是最少长度。而且减去的是重复的路径，所以是合法的。

但是我们要求的是虚树中的边长总和，因此我们还要减掉所有点LCA的深度。

另一种结论就是答案的两倍为按DFS序排序后相邻两个选择点的距离和加上首尾点的距离。因为按DFS序排序后相邻两个选择点的距离和会重复计算的就是从第一个点走到最后一个点路径的岔路，并且会走来回两次。也就是说只有从第一个点走到最后一个点路径只走了一次，那么就得出结论了。

现在要求动态维护，因此我们用set维护一下虚树的DFS序。

#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define N 100010
using namespace std;

struct Edge{
int to, nxt, w;
}ed[N<<1];

int n, m, idc, tot;
int pos
, log_2[N<<1];
int head
;
LL ans;
LL dis[N<<1], acc[N<<1][18];
bool in[N<<1];
set<int> seq;

void adde(int u, int v, int w){
ed[++idc].to = v;
ed[idc].nxt = head[u];
ed[idc].w = w;
head[u] = idc;
}

void dfs(int u, int f) {
pos[u] = ++tot;//dfs序上的pos
acc[tot][0] = dis[u];//dfs序上维护ST表
for(int i=head[u]; i; i=ed[i].nxt){
int v = ed[i].to;
if(v != f) {
dis[v] = dis[u] + ed[i].w;
dfs(v, u);
acc[++tot][0] = dis[u];
}
}
}

LL LCA_dis(int l, int r){//区间内最小的dis就是lca的dis
int len = log_2[r-l+1];
return min(acc[l][len], acc[r-(1<<len)+1][len]);
}

void Insert(int x){
set<int>::iterator it = seq.insert(x).first;
ans += acc[x][0];//加上dis
if(seq.size() == 1) return ;
if(it == seq.begin()){
set<int>::iterator secc=it; ++secc;
ans -= LCA_dis(*it,*secc);
return ;
}
if((++it)-- == seq.end()){
set<int>::iterator pred=it; --pred;
ans -= LCA_dis(*pred,*it);
return ;
}
set<int>::iterator secc = it; ++secc;
set<int>::iterator pred = it; --pred;
ans += LCA_dis(*pred, *secc);
ans -= LCA_dis(*it, *secc);
ans -= LCA_dis(*pred, *it);//减掉lca的dis
}

void Erase(int x){
set<int>::iterator it=seq.find(x);
ans -= acc[x][0];
if(seq.size() == 1){
seq.erase(it);
return ;
}
if(it == seq.begin()){
set<int>::iterator secc = it; ++secc;
ans += LCA_dis(*it,*secc);
seq.erase(it);
return ;
}
if((++it)-- == seq.end()){
set<int>::iterator pred = it; --pred;
ans += LCA_dis(*pred,*it);
seq.erase(it);
return ;
}
set<int>::iterator secc = it; ++secc;
set<int>::iterator pred = it; --pred;
ans -= LCA_dis(*pred, *secc);
ans += LCA_dis(*it, *secc);
ans += LCA_dis(*pred, *it);
seq.erase(it);
}

LL SE(){//再减掉首尾lca的dis
if(seq.size() == 0) return 0;
set<int>::iterator st = seq.begin();
set<int>::iterator ed = seq.end(); ed--;
return LCA_dis(*st,*ed);
}

int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i=1; i<n; i++){
int u,v,w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
adde(u, v, w); adde(v, u, w);
}
dfs(1, 0);
for(int i=2;i<=tot;i++)
log_2[i] = log_2[i>>1] + 1;//保证O1的RMQ
for(int j=1; j<=log_2[tot]; j++)
for(int i=1; i+(1<<j)-1<=tot; i++)
acc[i][j] = min(acc[i][j-1], acc[i+(1<<j-1)][j-1]);
for(int i=1; i<=m; i++){
int x; scanf("%d", &x);
if(!in[x])
in[x] = true, Insert(pos[x]);
else
in[x] = false, Erase(pos[x]);
printf("%lld\n", ans - SE() << 1);
}
return 0;
}