[洛谷　1373]小a和uim之大逃离---差值dp

题目背景

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

题目描述

瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入输出格式

输入格式：

第一行，三个空格隔开的整数n，m，k

接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 3

1 1

1 1

输出样例#1：

4

说明

【题目来源】

lzn改编

【样例解释】

样例解释：四种方案是：(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。

【数据范围】

对于20%的数据，n,m<=10,k<=2

对于50%的数据，n,m<=100,k<=5

对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15

分析

　　最初本以为是三维的dp,结果想了半天，最后无奈求助题解（看来dp还是做少了）

　　正解为四维dp[i][j][l][0/1]：表示(i,j)点时小a（0）或小uim（1）吸收魔液差值为l的方案数

　　初始化：

　　　　++k（看题目斜体．．）

　　　　dp[i][j][mp[i][j]][0]=1 ( mp[i][j]为该点的魔液数 )

　　转移方程：(令l为(a-b+k)%k所得的差值)　a同0，b同1

　　　　x1=(l-mp[i][j]+k)%k　;　x2=(l+mp[i][j])%k

　　　　dp[i][j][l][0]+=(dp[i-1][j][x1][1]+dp[i][j-1][x1][1])
4000
%mo（差值加大)

　　　　dp[i][j][l][1]+=(dp[i-1][j][x2][0]+dp[i][j-1][x2][0]) %mo （差值缩小）

　　统计答案：

　　　　ans=(ans+dp[i][j][0][1])%mo(注意题干斜体描述)

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
#define close fclose(stdin); fclose(stdout);
using namespace std;

int mo=1000000007;
int mp[802][802];
int dp[802][802][17][2];

inline int read()
{
int k=1;
int sum=0;
char c=getchar();
for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
if(c=='-') k=-1;
for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
sum=sum*10+c-'0';
return sum*k;
}

inline void write(int x)
{
if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}

int main()
{
open("1373");

int n=read(),m=read(),k=read()+1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
{
mp[i][j]=read()%k;
dp[i][j][mp[i][j]][0]=1;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
for(int l=0;l<k;++l)//可不取＝＝
{//注意+＝
int x1=(l-mp[i][j]+k)%k,x2=(l+mp[i][j])%k;
dp[i][j][l][0]+=(dp[i-1][j][x1][1]+dp[i][j-1][x1][1])%mo;
dp[i][j][l][1]+=(dp[i-1][j][x2][0]+dp[i][j-1][x2][0])%mo;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
ans=(ans+dp[i][j][0][1])%mo;
write(ans);

close;
return 0;
}