动态规划

思想：分治递归：

假如我们想求i个物品的最优，需要先求i-1个 物品的最优，再求i-2个物品的最优，这样递归，直到有了出口，把一个大的问题化解为小的子问题，但是小的子问题是最优的即最优子结构，每一个小的子问题的答案都需要记录下来，需要时再找出来，避免了大量重复的计算。

实例：0-1背包

有5个物品，背包容量为17，现需考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。



分析：

（1）

背包问题的求解过程实质是进行一系列决策的过程，决策哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个物品的最优解包含了物品n,那么其余的n-1个物品构成了1-n-1在容量为W-w(n)的最大价值；如果最优解中不包含物品n,那么其余的n-1个物品一定使得1-（n-1）在容量为W时的最大价值。

当想装入第n 个物品时，需要考虑是装入第n 个物品会使背包价值最大还是不装入会使背包价值最大，这时前n-1个物品一定使得背包价值达到了最大。

（2）

c[i,w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优的总价值，得到下式：



核心代码：

int i;
int w;
int n;
for(i=0;i<=n;i++)
{
c[i][0]=0;
for(w=1;w<=W;w++){
if(Weights[i-1]<=w){
if(Values[i-1]+c[i-1][w-Weights[i-1]]>c[i-1][w])
{
c[i][w]=Values[i-1]+c[i-1][w-Weights[i-1]]
}
else{
c[i][w]=c[i-1][w];
}
}
else
c[i][w]=c[i-1][w];
}
}
return c;

总结：

适合使用动态规划的问题一般具有两个性质：

(1)最优子结构

大的问题划分为小的问题时，小的问题一定是最优，一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解。

(2)重叠子问题

把每一个子问题的结果都记录下来，这样在需要的时候直接使用，避免了重复计算的问题。

学习是一个不断重复的过程，刚开始看都看不懂，看了几天，每一次讨论都会理解得更深一些。代码是很关键的一点，调试可以更好地去理解思想。