算法一---斐波那契数列

题目

Question1 2017年9月17日

Description:

查找斐波纳契数列中第 N 个数。

所谓的斐波纳契数列是指：

前2个数是 0 和 1 。

第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和。

斐波纳契数列的前10个数字是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

分析

1.递归

根据题目描述就可以列出求斐波那契数列的公式：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

def fibonacci1(self, n):
if n == 1 or n == 2:
return n-1
else:
return self.fibonacci1(n-1) + self.fibonacci1(n-2)

分析一下，求第n个数要执行多少次？

要执行1+2+4+8+...+2n−2=2n−2次

时间复杂度：O(2N)

2.循环

当然按照公式，一开始我们就定义两个数，做一次n级的循环，每次循环给这两个数重新赋值，这样就能把执行次数维持在n的时间复杂度上：

def fibonacci2(self,n):
if n == 1 or n == 2:
return n-1
f1 = 0
f2 = 1
f3 = 1
i = 3
for i in range(i-1,n):
f3 = f2
f2 = f1 + f3
f1 = f3
re*turn f2

时间复杂度：O(N)

3.矩阵

仔细观察一下，其实斐波那契数列前后项的关系可以用矩阵相乘实现：

[f(n)f(n−1)]=[1110][f(n−1)f(n−2)]

我们通过不断迭代，很显然能得出公式：

[f(n)f(n−1)]=[1110]n−2[f(2)f(1)]

所以要求f(n),只需要求出矩阵

[1110]n−2

的值就行了。

计算二阶矩阵的N次幂运算，由于二阶矩阵乘法满足结合律，这样，可以快速计算二阶矩阵的n次幂运算。

假设A为一个二阶矩阵，则A的幂运算满足下面的条件：

A6=A3∗A3

A7=A3∗A3∗A1=A4∗A2∗A1

在这里，我们可以类似地把A看做是二进制中的2，27=24∗22∗21也就是说可以把矩阵的幂转换成二进制来表示。从而可以将n次幂拆解成长度为logn的二进制数来表示：7=111(二进制)。

这就是快速求二阶矩阵的核心方法。

def matrix(n):
base=[[1,1],[1,0]]  # 基础矩阵
ans=[[1,0],[0,1]]  # 结果矩阵
while n:
if n&1:  # 取n的二进制的最后一位和1做与运算，如果最后一位是1，则进入if体内部
ans=multi(ans,base)  # 如果在该位置n的二进制为1，则计算ans和base矩阵
base=multi(base,base)  # base矩阵相乘，相当于初始base矩阵的幂*2
n>>=1  # n的二进制往右移一位
return ans[0][1]  # 最后获取到的二阶矩阵的[0][1]即f(n)的值

def multi(a,b):  # 计算二阶矩阵的相乘
c=[[0,0],[0,0]]  # 定义一个空的二阶矩阵
for i in range(2):
for j in range(2):
for k in range(2):  # 新二阶矩阵的值计算
c[i][j]=a[i][k]*b[k][j]
return c

时间复杂度：O(logN)

总结

这个是Lintcode上的入门题，原本以为一个晚上就能写完的，结果发现从慢到快的算法研究弄了我好几天，最后的矩阵乘法也是网上看到的，毕竟数学荒废好多年了。正好新学了一点点python，虽然算法题对我现在的工作感觉没什么帮助，本着练手python编程和活动脑筋的目的，还是决定每个星期研究个一个来玩玩。