算法之动态规划

动态规划

动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。

通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。

适用情况

1、最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。

2、无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。

3、子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

实例

1、斐波那契数列

int fib(int num){
if(num < 0){
return -1;//代表错误输入
}else if(num < 2){//fib(0)=0,fib(1)=1
return num;
}else{
return fib(num - 1) + fib(num - 2);
}

当num=4时，fib(4)的计算过程：



可以看出，这种算法对于相似的子问题进行了重复的计算，因此不是一种高效的算法。实际上，该算法的运算时间是指数级增长的。 改进的方法是，我们可以通过保存已经算出的子问题的解来避免重复计算：

static int Fibonacci(int num){

Integer fib[] = new Integer[100];

if(num < 0){

fib[num] = 0;
return -1;//代表错误输入

}else if(num < 2){

fib[num] = num;
return num;

}else{

if(!Arrays.asList(fib).contains(num)){

fib[num] =  Fibonacci(num - 1) + Fibonacci(num - 2);

}

return fib[num];
}

2、01背包问题

01背包的状态转换方程： f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Wi表示第i键物品的重量，Pi表示第i件物品的价值

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？



1、e2单元格：当只有一件物品e，包的容量是2时，装不进去，所以最大值为0

2、a8单元格：物品包括a、b、c、d、e，容量为8时，F[i-1,j]=F[b,8]=9，F[i-1,j-Wi]+Pi=F[b,6]+6=9+6=15，两种情况取最大值，因此这里的最大值是15

3、其他单元格依此类推…

/**
* 背包问题
*
* @author zhaiaxin
* @time: 2017/10/26 15:46.
*/
public class Backpack {

/**
* @param m 表示背包的最大容量
* @param n 表示商品个数
* @param w 表示商品重量数组
* @param p 表示商品价值数组
*/
public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) {
//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
int c[][] = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
c[i][0] = 0;
for (int j = 0; j < m + 1; j++)
c[0][j] = 0;

for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
//当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：
//(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
//(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
if (w[i - 1] <= j) {
if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]))
c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
else
c[i][j] = c[i - 1][j];
} else
c[i][j] = c[i - 1][j];
}
}
return c;
}

public static void main(String[] args) {
int m = 10;
int n = 3;
int w[] = {3, 4, 5};
int p[] = {4, 5, 6};
int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
System.out.print(c[i][j] + "\t");
if (j == m) {
System.out.println();
}
}
}

}

}