LeetCode 312. Burst Balloons--动态规划

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312. Burst Balloons

Given 

n

 balloons, indexed from 

0

 to 

n-1

.
Each balloon is painted with a number on it represented by array 

nums

.
You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon 

i

 you
will get 

nums[left] * nums[i] * nums[right]

 coins. Here 

left

 and 

right

 are
adjacent indices of 

i

. After the burst, the 

left

 and 

right

 then
becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note: 

(1) You may imagine 

nums[-1] = nums
= 1

. They are not real therefore
you can not burst them.

(2) 0 ≤ 

n

 ≤ 500, 0 ≤ 

nums[i]

 ≤
100

Example:

Given 

[3, 1, 5, 8]

Return 

167

nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

解：
真的是很难想的一题，参考了在线疯狂的博客的思路：

（看到这个思路时我发现我一直想不出是因为我没有仔细考虑  “(1) You
may imagine 

nums[-1] = nums
= 1

.
They are not real therefore you can not burst them.”  这句话）

1.子问题的解是父问题解的一部分，满足这个条件，符合动态规划的要求

2.注意到“求数组得到的最大值在最前和最后分别加一个1，1不能爆”，用dp[i][j]代表子序列(i，j)产生的最大值，不包括 i 和 j ，value[]表示每一位置的数值，value的大小是nums大小(size)加2，首位分别都是1，我们最后想得到的结果就可以用dp[0][size+1]表示

3.dp[i,j] = max(dp[i,last]+dp[last,j]+value[last]*value[i]*value[j])，i < last < j ，last的含义是在i和j之间最后爆的气球，last可以将一个序列分隔为2部分，序列的最大值就是2个子序列的最大值加上last爆时产生的值

代码（c++）：

class Solution {
public:
int maxCoins(vector<int>& nums) {
int size = nums.size();
int dp[502][502] = {0};
int value[502];
value[0] = 1;
for (int i = 1; i <= size; i++) value[i] = nums[i-1];
value[size+1] = 1;
for (int i = 0; i < size-1; i++) dp[i][i+1] = 0;
for (int len = 2; len < size+2; len++) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
int j = i+len;
for (int last = i+1; last <= j-1; last++) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][last] + dp[last][j] + value[last]*value[i]*value[j]);
}
}
}
return dp[0][size+1];
}
};