栈的应用----四则运算，后缀逆波兰表示法(RPN)

我们从小就学习四则运算——加减乘除四则。我们也知道，要先乘除后加减，遇到括号要先算括号内的。可是，想让计算机进行这样的四则运算可不容易，它可不知道什么乘除优先，然后加减。那么，该如何让计算机也能进行这样的四则运算呢？就是通过栈。

我们人类非常熟悉也非常喜欢用中缀表示法进行算数运算，什么是中缀表示法呢？也就是，一个运算符在两个数字中间。比如，5+3,3*5,5/2等等，这些都是中缀表示法。这种表示法很适合人类使用，但是却不适用于计算机，于是，我们就想出了一种适合计算机的表示方式，叫做，后缀表示法，也就是运算符出现在待运算数字的后面。比如，5+3，这种叫做中缀表示法，用后缀表示法就是，5 3 +，这样的方式就是后缀表示法。也就是说，想让计算机进行运算，首先就要把中缀表达式转换成后缀表达式。接着才是对后缀表达式进行运算。

那么先来讲，中缀表达式转换成后缀表达式是如何通过栈实现的。我们假设有这么一个中缀表达式：

5 + 4 * 6 / ( 3 + 7 ) * 2 + 1

我们遵循这样的一个原则，遇到数字就直接将数字输出，遇到运算符就将运算符压入栈中。如果当前运算符跟栈顶运算符相比，优先级高于栈顶运算符，就将此运算符压入栈中，该运算符成为新的栈顶运算符。换言之，如果该运算符不高于栈顶运算符，则栈顶元素依次出栈，并将当前符号进栈。好了，开始转换。首先是5，所以，我们要将5输出，因为5是数字，遇到数字就直接输出，那么输出为：

5

接着是一个“+”，因为是运算符，所以将运算符入栈。

+

接着，仍然是数字，所以将4输出，

5 4

由于接下来的是一个乘号，所以，要将它与栈顶的运算符进行对比，发现*号优先级高于+号优先级，所以，将*号入栈，这样以来，栈顶元素就为*号。

+ *

由于6也是数字，所以，可以将其输出

5 4 6

接下来，是个关键。因为，接下来的一个符号是/号，所以，当它和*号对比时，发现/号优先级并不高于*号优先级，所以，将栈顶元素依次出栈，也就是

*

所以，目前，输出元素为

5 4 6 *

然后，将/号入栈，此时栈中只有一个符号/

+ /

接着，是一个左括号( ，所以要将(入栈，直到碰到)是将括号内的内容出栈。

+ / (

因为是数字，所以将3出栈

5 4 6 * 3

接着将+号入栈

+ / ( +

接着是一个数字7，很明显，将数字7出栈

5 4 6 * 3 7

这时碰到了),所以要将+出栈，

5 4 6 * 3 7 +

此时，栈中元素为，

+ /

接着是一个*号，将它与/号对比，发现，它不高于*号，所以，将/出栈，然后跟+号对比，发现高于+号，所以，*可以入栈了，所以，输出元素如下：

5 4 6 * 3 7 + /

栈中数据如下：

+ *

接着是一个数字2，将2直接输出

5 4 6 * 3 7 + / 2

接着是一个+号，优先级并不高于*号，也不高于栈底的+号，所以，将栈顶元素依次出栈，

5 4 6 * 3 7 + / 2 * +

然后将该+号入栈，所以，此时栈内元素为

+

当碰到最后一个1的时候，直接将1输出。

5 4 6 * 3 7 + / 2 * + 1

最后了，已经没有元素了，此时，就将栈中的+号输出，所以，最后，后缀表达式为：

5 4 6 * 3 7 + / 2 * + 1 +

此时，已经将我们人类认识的中缀表达式转换成了机器认识的后缀表达式。那么，此时，就可以开始运算了，运算还是需要借助栈。当碰到数字时，还是需要将数字压入栈，当碰到运算符时，从栈顶将元素取出，并进行运算。比如，5 4 6都是数字，于是，将5 4 6入栈，

5 4 6

接下来碰到了*号，所以，将6取出作为乘数，将4取出作为被乘数，进行相乘运算，4 * 6 = 24，此时，将运算结果24存入栈中。所以，栈中元素为：

5 24

因为3 7都是数字，所以，将3 7保存至栈中。

5 24 3 7

因为接下来碰到了一个+号，所以，将7和3取出，进行3 + 7 = 10的运算，然后将运算结果10放入栈中。

5 24 10

接下来是一个/号，所以，将10取出作为除数，将24取出作为被除数，所以，24 / 10 = 2.4，然后将2.4存入栈中，所以，

5 2.4

接下来，是一个数字2，所以，将2压入栈中

5 2.4 2

然后是一个乘号，所以将2和2.4取出，执行2.4 * 2 = 4.8，将4.8压入栈中

5 4.8

因为接下来是一个+号，所以将5和4.8取出，执行5 + 4.8 = 9.8，此时将9.8入栈

9.8

然后将数字1入栈

9.8 1

最后一个+号，所以将两个数出栈，执行9.8 + 1 = 10.8，最后运算结果为，10.8。到此就完全结束了。
其实，我举的这个例子是有问题的，栈中保存的是类型相同的元素，所以我这个例子举的不好，不过不影响总结计算机执行四则运算的过程。