无穷小微积分下放中学的根据
2017-09-23 09:39
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无穷小微积分下放中学的根据
借助超实数取“标准部分”运算st(这是一个低级代数运算),我们很容易定义函数的导数。导数是微积分学的基本概念。
搜索维基与百度百科,查阅所谓的“十一五”国家级规划教材,我们不难发现,它们都是“大同小异”,给出导数的如下定义:
导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
由此可见,在传统微积分传道士的眼中,函数的导数必须建立在函数极限过程之上,安排在函数连续性之后,除此之外,别无他途也。
J.Keisler在《基础微积分》(无穷小方法)的第2.1节导数(已经上传互联网),开宗明义,给出如下定义如下:
DEFINITION
S is said to be theslope of f at a if
(*) S = st((f(a +Δx)– f(a))/Δx)
for every nonzero infinitesimal Δx.
在(*)式中,S是函数在点a处的“变化率(曲线的”斜率”),运算符“st”是取标准部分的运算。而关于函数的导数,则有定义:
DEFINITION
Let f be a real function of one variable. The derivative of f is thenew function f‘ whose value at x is theslope of f at x. In symbols,
(*) f'(x) = st ((f(x +Δx)– f(x))/Δx)
Whenever the slope exists.
在无穷小微积分中,函数的导数是一个借助于函数斜率来定义的新函数,是(未来讲授的)积分运算的“逆运算”(现在留下伏笔),而不必借助极限过程(limit)而大动干戈。实际上,取标准部分“st”运算,相对而言,是一个比较低级的”代数运算“,我们的高中学生完全能够”搞定“。
复杂的极限理论简化为代数运算。呜呼!
袁萌 9月23日
借助超实数取“标准部分”运算st(这是一个低级代数运算),我们很容易定义函数的导数。导数是微积分学的基本概念。
搜索维基与百度百科,查阅所谓的“十一五”国家级规划教材,我们不难发现,它们都是“大同小异”,给出导数的如下定义:
导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
由此可见,在传统微积分传道士的眼中,函数的导数必须建立在函数极限过程之上,安排在函数连续性之后,除此之外,别无他途也。
J.Keisler在《基础微积分》(无穷小方法)的第2.1节导数(已经上传互联网),开宗明义,给出如下定义如下:
DEFINITION
S is said to be theslope of f at a if
(*) S = st((f(a +Δx)– f(a))/Δx)
for every nonzero infinitesimal Δx.
在(*)式中,S是函数在点a处的“变化率(曲线的”斜率”),运算符“st”是取标准部分的运算。而关于函数的导数,则有定义:
DEFINITION
Let f be a real function of one variable. The derivative of f is thenew function f‘ whose value at x is theslope of f at x. In symbols,
(*) f'(x) = st ((f(x +Δx)– f(x))/Δx)
Whenever the slope exists.
在无穷小微积分中,函数的导数是一个借助于函数斜率来定义的新函数,是(未来讲授的)积分运算的“逆运算”(现在留下伏笔),而不必借助极限过程(limit)而大动干戈。实际上,取标准部分“st”运算,相对而言,是一个比较低级的”代数运算“,我们的高中学生完全能够”搞定“。
复杂的极限理论简化为代数运算。呜呼!
袁萌 9月23日
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