题目1103：区域赛系列一多边形划分

题目链接：

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=1103

描述

Give you a convex（凸边形）, diagonal n-3 disjoint divided into n-2 triangles(直线), for different number of methods, such as n=5, there are 5 kinds of partition method, as shown in Figure

输入

The first line of the input is a n (1≤n≤1000), expressed n data set.

The next n lines each behavior an integer m (3≤m≤18), namely the convex edges.

输出

For each give m,, output how many classification methods.

example output: Case #a : b

样例输入

3 3 4 5

样例输出

Case #1 : 1 Case #2 : 2 Case #3 : 5

算法思想：

Catalan数 百度百科-卡特兰数

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2≤k≤n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。

最后，令f（2）=1，f（3）=1。

此处f（2）=1和f（3）=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”，也许可从凸四边形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推，四边形的划分方案不用规律推导都可以知道是2，那么2×f（2）f（3）=2，则f（2）f（3）=1，又f（2）和f（3）若存在的话一定是整数，则f（2）=1，f（3）=1。（因为我没研究过卡特兰数的由来，此处仅作刘抟羽的臆测）。

源代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,m,i;
int a[20];
a[1]=1;
for (i=2;i<=18;++i)
{
a[i]=a[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
}
cin >> n;
for(i=1;i<=n;++i)
{
cin >> m;
cout <<"Case #" << i <<" : " << a[m-2] << endl;
}
return 0;
}

算法复杂度：

由源代码可知，第一种算法时间复杂度为O(n)。