629. K Inverse Pairs【Hard】 动态规划

作死试了一个看起来比较简单的HARD题，刚开始看到题目还觉得有点思路，然而后来却发现没法降低时间复杂度。

我的思路如下：每次知道了第n个状态下所有k的情况（即知道所有a[1,2..n][k]），则n+1的情况便可求出来。

  因为从n到n+1是相当于在原来的1,2..n的无序序列中加入n+1这个数，那么这个数，n+1，可以放置的位置有n+1位，

  例如n=4时，n+1=5，加入5的情况有    

    xxxx5  k+=0

    xxx5x  k+=1

    xx5xx  k+=2

    x5xxx  k+=3

    5xxxx  k+=4

  <n,k>下有a
[k]个序列，那么就相当于给<n+1, k+i> (i=0,1,2,3,4)都贡献了a
[k]个序列

  相当于给a[n+1][k] ,  a[n+1][k+1] , a[n+1][k+2] , a[n+1][k+3] , a[n+1][k+4]都加上了a
[k]

  所以循环n次之后就能知道a
[k]的值了

#include <iostream>
using namespace std;
const int md = 1000000007;
int a[1001][1001] = {{0}}, n, j, i, x, k;

int main() {
cin >> n >> k;

for (i = 1; i <= n; ++i) {
if (i == 1) a[i][0] = 1;
else for (j = 0; a[i - 1][j] > 0 && j <= k; ++j)
for (x = 0; x < i && j + x <= k; ++x) {
a[i][j + x] += a[i - 1][j];
a[i][j + x] %= md;
}
}

cout << a
[k];

return 0;
}

看了网上的博客才知道这题可以用类似求等比数列的办法来算每个<n,k>的值，降低了复杂度，优化了算法。

原因是：由前面的推导，可以知道：

    a
[k] = a[n - 1][k] + a[n - 1][k - 1] + ... + a[n - 1][k - n + 1]

用k-1替换k，就能得到：

    a
[k - 1] = a[n - 1][k - 1] + a[n - 1][k - 2] + ... + a[n - 1][k - n]

一式减去二式，得到：

    a
[k] = a
[k - 1] + a[n - 1][k] - a[n - 1][k - n]

    当k>=n的时候，a[n - 1][k - n]才会有意义，所以要判断一下k和n的关系，如果k>=n的话，就要减去最后一项

这个递推式减少了一个循环，使算法更高效，代码如下：

class Solution {
public:
int kInversePairs(int n, int k) {
const int md = 1000000007;
int a[1001][1001] = {{0}};
int j, i;

a[0][0] = 1;
for (i = 1; i <= n; ++i) {
a[i][0] = 1;
for (j = 1; j <= k; ++j) {
a[i][j] = (a[i - 1][j] + a[i][j - 1]) % md;
if (j >= i) {
a[i][j] = (a[i][j] - a[i - 1][j - i] + md) % md;
}
}
}
return a
[k];
}
};