HDU 5245 - Joyful

一道比较明显的公式题

给的参数很少，数值也不大（≤500/≤20）

题意大致是：进行K次染色，每次染色会随机选取一个以(x1,y1),(x2,y2)为一组对角的子矩阵进行染色，求K次染色后染色面积的期望值(四舍五入)。

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样例1：（n,m,k)=(3,3,1)   

Case #1: 4  

（这组样例中，每一种可能染色方案的面积总和为289，染色的方案数共有n*n*m*m=3^4=81种，因此期望为3.56790123，四舍五入后答案为4）  

显而易见的是，当K=1时，期望被染色的面积会等于每个1*1的方块被染色的期望累加之和。

假设K=1时即只染色一次时，位于第x行第y列的方块被染色的概率为A[x,y]

在K次操作后被染色的期望假设为P[x,y]，可以用

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P[x,y]=1-(1-A[x,y])^k  

来计算。

此时我们的问题转向了如何计算A[x.y]上

由题目描述，一次染色中可能的操作有n^2*m^2种

计算A[x,y]时，我们可以把整个矩阵做如下拆分



当前计算的方块为[x,y]，即图中编号为5的部分

将其他部分拆分成图上8个区域，则可得到以下关系

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对于一种染色方案能够覆盖方块[x,y]时  

①[x1,y1]取在区域1内时，[x2,y2]可以在5、6、8、9四个区域内任取;  

②[x1,y1]取在区域2内时，[x2,y2]可以在4、5、6、7、8、9六个区域内任取;  

③[x1,y1]取在区域3内时，[x2,y2]可以在4、5、7、8四个区域内任取;  

④[x1,y1]取在区域4内时，[x2,y2]可以在2、3、5、6、8、9六个区域内任取;  

⑤[x1,y1]取在区域5内时，[x2,y2]可以在所有区域内任取;  

⑥[x1,y1]取在区域6内时，[x2,y2]可以在1、2、4、5、7、8六个区域内任取;  

⑦[x1,y1]取在区域7内时，[x2,y2]可以在2、3、5、6四个区域内任取;  

⑧[x1,y1]取在区域8内时，[x2,y2]可以在1、2、3、4、5、6六个区域内任取;  

⑨[x1,y1]取在区域1内时，[x2,y2]可以在1、2、4、5四个区域内任取;  

按照这个关系，即可推出A[x,y]的表达式。

P.S.:本题因为计算过程中会出现n^2*m^2大小的计算，因此需要注意int溢出的问题

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#include<iostream>  

#include<cstdio>  

#include<cmath>  

using namespace std;  

  

int main()  

{  

    int t,tm,k;  

    double n,m;  

    scanf("%d",&t);tm=t;  

    while(t--)  

    {  

        scanf("%lf%lf%d",&n,&m,&k);  

        double ans=0;  

        for(double i=1;i<=n;i++)  

            for(double j=1;j<=m;j++)  

            {  

                double p=m*n;  

                p+=(i-1)*(j-1)*(n-i+1)*(m-j+1);  

                p+=(i-1)*(m-j)*(n-i+1)*j;  

                p+=(j-1)*(n-i)*(m-j+1)*i;  

                p+=(n-i)*(m-j)*i*j;  

                p+=(i-1)*m*(n-i+1);  

                p+=(m-j)*n*j;  

                p+=(n-i)*m*i;  

                p+=(j-1)*n*(m-j+1);  

                p=p/n/n/m/m;  

                ans+=1-(pow(1-p,k));  

            }  

            printf("Case #%d: %d\n",tm-t,int(ans+0.5));  

    }  

    return 0;  

}