51nod 1350 斐波那契表示【斐波那契数列】
2017-09-20 21:00
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Description
每一个正整数都可以表示为若干个斐波那契数的和,一个整数可能存在多种不同的表示方法,例如:14 = 13 + 1 = 8 + 5 + 1,其中13 + 1是最短的表示(只用了2个斐波那契数)。定义F(n) = n的最短表示中的数字个数,F(14) = 2,F(100) = 3(100 = 3 + 8 + 89),F(16) = 2(16 = 8 + 8 = 13 + 3)。定义G(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… F(n),G(6) = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8。给出若干个数字n,求对应的G(n)。题解
首先有一个性质:最短的表示一定是每次都取能取的最大的斐波那契数。这样,f[i]=f[i−fmax]+1(fmax表示能取的最大的斐波那契数),令G[i]表示1..n的f[i]的和,显然,G[i]=g[i−fmax]+i−fmax+G[fmax],我们发现,斐波那契数很少,可以预处理,如果能够预处理出所有斐波那契数,那么,求G[i]就只需要log次递归就可以了,那么,如何来求呢?易得,G[fi]=G[fi−1]+G[fi−fi−1]+i−(fi−fi−1)−1=G[fi−1]+G[fi−2]+i−fi−2−1;
代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define LL long long #define maxn 100 using namespace std; inline char nc(){ static char buf[100000],*i=buf,*j=buf; return i==j&&(j=(i=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),i==j)?EOF:*i++; } inline LL _read(){ LL sum=0;char ch=nc(); while(!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=nc(); while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=nc(); return sum; } int T,n; LL f[maxn],g[maxn]; int find(LL x){ int l=1,r=n; while(l<=r){ int mid=(l+r)>>1; if(f[mid]<=x&&f[mid+1]>x)return mid; if(f[mid]>x)r=mid-1; else l=mid+1; } } LL G(LL x){ if(!x)return 0; int p=find(x); return G(x-f[p])+g[p]+x-f[p]; } int main(){ freopen("fibonacci.in","r",stdin); freopen("fibonacci.out","w",stdout); T=_read(); n=1;f[1]=f[0]=1; while(f +f[n-1]<=1e17)f[n+1]=f +f[n-1],n++; f[0]=0;f[n+1]=1e18;g[1]=1;g[2]=2; for(int i=3;i<=n;i++)g[i]=g[i-1]+g[i-2]+f[i-2]-1; while(T--){ LL x=_read(); printf("%lld\n",G(x)); } return 0; }
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