二分图的最大独立集

如果一个图是二分图，那么它的最大独立集就是多项式时间可以解决的问题了 |最大独立集| = |V|-|最大匹配数|

证明：

设最大独立集数为U，最大匹配数为M，M覆盖的顶点集合为EM。

为了证明|U|=|V|-|M|，我们分两步证明|U|<=|V|-|M|和|U|>=|V|-|M|

1 .先证明 |U|<=|V|-|M|

M中的两个端点是连接的，所有M中必有一个点不在|U|集合中，所以|M|<=|V|-|U|

2. 再证明|U|>=|V|-|M|

假设(x,y)属于M

首先我们知道一定有|U|>=|V|-|EM|，那么我们将M集合中的一个端点放入U中可以吗？

假设存在(a,x)，(b,y)，(a,b)不在EM集合中

如果(a,b)连接，则有一个更大的匹配存在，矛盾

如果(a,b)不连接，a->x->y->b有一个新的增广路，因此有一个更大的匹配，矛盾

所以我们可以了解到取M中的一个端点放入U中肯定不会和U中的任何一个点相连，所以|U|>=|V|-|EM|+|M|=|V|-|M|

所以，|U|=|V|-|M|

例题：

http://blog.csdn.net/acmman/article/details/38564159