BZOJ 1077 天平 （差分约束）

1077: [SCOI2008]天平

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Description

　　你有n个砝码，均为1克，2克或者3克。你并不清楚每个砝码的重量，但你知道其中一些砝码重量的大小关系。

你把其中两个砝码A和B放在天平的左边，需要另外选出两个砝码放在天平的右边。问：有多少种选法使得天平的左

边重(c1)、一样重(c2)、右边重(c3)？（只有结果保证惟一的选法才统计在内)

Input

　　第一行包含三个正整数n，A，B（1<=A，B<=N，A和B不相等）。砝码编号为1~N。以下n行包含重量关系矩阵，

其中第i行第j个字符为加号“+”表示砝码i比砝码j重，减号“-”表示砝码i比砝码j轻，等号“=”表示砝码i和砝

码j一样重，问号“?”表示二者的关系未知。存在一种情况符合该矩阵

Output

　　仅一行，包含三个整数，即c1，c2和c3。

Sample Input

6 2 5

?+????

-?+???

?-????

????+?

???-?+

????-?

Sample Output

1 4 1

HINT

【数据规模】 4<=n<=50

思路：

摘自大佬 < clover_hxy >

这道题n的范围很小，所以我们可以考虑枚举+判定

设放在天平右边的是C,D.

以A+B < C+D为例，因为差分约束必须是差的形式，所以我们将式子变形为B−C < D−A然后枚举D,A的取值，就得到了一个关于两个数差的不等式。设枚举的A的值为x，那么x<=A<=x这个式子要想转换成差分的形式，需要引入一个新变量0，设dis[0]=0，那么式子可以变成x<=A−0<=x

注意每个点都只能从[1,3]中取值，所以隐含的限制就是1<=dis[i]−dis[0]<=3。

题目中说只有结果保证惟一的选法才统计在内，意思是对于同一对C,D只能计算一次，且如果枚举的C,D的值不同，得到的与A+B的关系不同的话，那么方案不合法。

如果对于差分约束的转换有疑惑 请点击

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define N 100010
#define inf 1000000000
using namespace std;

int n, B, A, idc;
int ans[5], head
, vis
, dis
, rec[10];
bool flag;

struct Edge {
int to, nxt, w;
}ed
;

void adde(int u, int v, int w){
ed[++idc].to = v;
ed[idc].nxt = head[u];
ed[idc].w = w;
head[u] = idc;
}

void spfa(int u){
vis[u] = 1;
for(int i=head[u]; i; i=ed[i].nxt){
int v = ed[i].to;
if(dis[v] > dis[u] + ed[i].w) {
dis[v] = dis[u] + ed[i].w;
if( vis[v] ) {
flag = true; return;
}
spfa( v );
if( flag ) return;
}
}
vis[u] = 0;
}

void init(int c, int d){
flag = false;
for(int i=0; i<=n; i++) dis[i] = inf, vis[i] = 0;
dis[0] = 0;
rec[0] = idc; rec[1] = head[A]; rec[2] = head[B];
rec[3] = head[c]; rec[4] = head[d]; rec[5] = head[0];
}

void recover(int c, int d){
idc = rec[0]; head[A] = rec[1]; head[B] = rec[2];
head[c] = rec[3]; head[d] = rec[4]; head[0] = rec[5];
}

bool check1(int c, int d, int vd, int va){//<
init(c, d);
int t = vd - va - 1;
adde(c, B, t);
adde(0, d, vd); adde(d, 0, -vd);
adde(0, A, va); adde(A, 0, -va);
spfa( 0 );
recover(c, d);
return flag;
}

bool check2(int c, int d, int vd, int va){//>
init(c, d);
int t = va - vd - 1;
adde(B, c, t);
adde(0, d, vd); adde(d, 0, -vd);
adde(0, A, va); adde(A, 0, -va);
spfa( 0 );
recover(c, d);
return flag;
}

bool check3(int c, int d, int vd, int va){//=
init(c, d);
int t = vd - va;
adde(c, B, t); adde(B, c, -t);
adde(0, d, vd); adde(d, 0, -vd);
adde(0, A, va); adde(A, 0, -va);
spfa( 0 );
recover(c, d);
return flag;
}

int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &A, &B);
for(int i=1; i<=n; i++) {
char s[100]; scanf("%s", s+1);
for(int j=1; j<=n; j++){
if(s[j]=='+') adde(i, j, -1);
if(s[j]=='-') adde(j, i, -1);
if(s[j]=='=') adde(j, i, 0), adde(i, j, 0);
}
}
for(int i=1; i<=n; i++) adde(0, i, 3), adde(i, 0, -1);//限定所有元素在1~3
for(int i=1; i<n; i++)
for(int j=i+1; j<=n; j++) {//枚举右边两个
if(i==A || j==B || i==B || j==A) continue;
int v1 = 0, v2 = 0, v3 = 0;
//以A+B<C+D为例，因为差分约束必须是差的形式，所以我们将式子变形
//B-C<D-A然后枚举D,A的取值，就得到了一个关于两个数差的不等式。
for(int d=1; d<=3; d++){
for(int a=1; a<=3; a++) {
int t1 = check1(i, j, d, a); if( !t1 ) v1++;
int t2 = check2(i, j, d, a); if( !t2 ) v2++;
int t3 = check3(i, j, d, a); if( !t3 ) v3++;
}
}
if(v1 && !v2 && !v3) ans[1]++;
if(!v1 && v2 && !v3) ans[2]++;//因为只有结果保证惟一的选法才统计在内
if(!v1 && !v2 && v3) ans[3]++;//如果枚举的C,D的值不同，得到的与A+B的关系不同的话，那么方案不合法。
}
printf("%d %d %d\n", ans[2], ans[3], ans[1]);
return 0;
}