抽象代数学习笔记（11） 群上的可逆变换

之前写对称群的时候提到过，任意非空集合 A 上的所有可逆映射在映射合成下构成群。现在，我们把这种构成群的方式从集合推广到群上，也就是群 G 上所有可逆变换在映射合成下构成的群 I(G) 。这里先说一个结论：任意群必然同构于 I(G) 的一个子群。其意义在于，一般的群因为提出背景不同，在形式上千差万别，有了这个结论，只要研究群上可逆映射构成的群，其他的群也就清楚了。这也是自开始学习同构与同态时，我经常强调的。

设 (G,∗) 是个群，将 G 上的可逆映射称之为 G 的可逆变换。 G 上所有可逆变换在映射合成下构成群，记为 I(G) 。显然，同构映射也是一个可逆变换， G 到 G 本身的同构映射称为自同构。

自同构有一条重要性质：将 G 上的所有自同构记为 Aut(G) ， Aut(G) 是 I(G) 的一个子群。

证明很简单，首先设 f,g∈Aut(G) ， f∗g 也是同构映射，也就是说 f∗g∈Aut(G) 。其次，若 f∈Aut(G) 那么 f−1 也是同构映射，即 f−1∈Aut(G) 。最后，恒等映射 iG 是个同构映射， iG∈Aut(G)。

除了同构映射，群 G 上还有很多可逆变换，接下来要引入的左乘变换就是一种可逆变换。

设 G 是一个群， a 是 G 的一个固定元素，通过 a 可以获得 G 上的一个变换 λa ，规定每个 x∈G,λa(x)=ax ，则 λa 是 G 上的可逆变换，称为 a 的左乘变换。

显然， λa 是单射，这里主要说明一下，为何 λa 是满射：任取 g∈G,由于aa−1g=g,λa(a−1g)=g，因为 g 的任意性，所以 λa 是满射。综上， λa 是一个双射，即 λa∈I(G) 。

现在我们知道群 L 是 G 所有左乘变换构成的集合，也是群 G 上所有可逆变换集合的一个子集。而且 L 在映射合成下，构成 I(G) 的子群。证明子群的方法与自同构那个类似。

群 L 最重要的性质是，它是同构于群 G 的。证明如下：

定义映射 f:G−>L,f(a)=λa,a∈G ，首先说明 f 是个双射。若 a,b∈G,a≠b,则ae≠be，也就是说，λa≠λb,f 是单射。而 L 中的每一个元素 λa 是 G 中的元素 a 导出的，所以 f 是满射。进一步的，对任意 x∈G:

f(ab)(x)=λab(x)=(ab)x=a(bx)=λa(bx)=λa(λb(x))=λa∗λb(x)=f(a)∗f(b)

因此，群 L 同构于群G 。

结合上述几个结论，可以得到著名的凯莱定理：每个群 G 都同构于其上所有可逆变换构成的群 I(G) 的一个子群。

该定理的一个推论是：每个 n 阶有限群都同构于 n 阶对称群的一个子群。

限于篇幅，还有部分内容放到下一节介绍。