康托展开,用于全排列的hash
2017-09-18 06:05
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公式[編輯]
{\displaystyle X=a_{n}(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+\cdots +a_{1}\cdot 0!}其中,{\displaystyle a_{i}}
為整數,並且{\displaystyle
0\leq a_{i}<i,1\leq i\leq n}
。
{\displaystyle a_{i}}
的意義參見舉例中的解釋部分
舉例[編輯]
例如,3 5 7 4 1 2 9 6 8 展開為 98884。因為X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.解釋:
排列的第一位是3,比3小的數有兩個,以這樣的數開始的排列有8!個,因此第一項為2*8!
排列的第二位是5,比5小的數有1、2、3、4,由於3已經出現,因此共有3個比5小的數,這樣的排列有7!個,因此第二項為3*7!
以此類推,直至0*0!
用途[編輯]
顯然,n位(0~n-1)全排列後,其康托展開唯一且最大約為n!,因此可以由更小的空間來儲存這些排列。由公式可將X逆推出唯一的一個排列。
康托展開的逆運算[編輯]
既然康托展開是一個雙射,那麼一定可以通過康托展開值求出原排列,即可以求出n的全排列中第x大排列。如n=5,x=96時:
首先用96-1得到95,说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1) 用95去除4! 得到3余23,说明有3个数比第1位小,所以第一位是4. 用23去除3! 得到3余5,说明有3个数比第2位小,所以是4,但是4已出现过,因此是5. 用5去除2!得到2余1,类似地,这一位是3. 用1去除1!得到1余0,这一位是2. 最后一位只能是1. 所以这个数是45321.
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