计蒜客 17115 2017 ICPC 西安网络赛 B Coin

Problem

nanti.jisuanke.com/t/17115

Reference

关于二项展开式系数和

【二项式定理】【推导】计蒜客17115 2017 ACM-ICPC 亚洲区（西安赛区）网络赛 B. Coin

Meaning

抛一个硬币正面朝上的概率是 qp（qp≤12），连抛 k 次，求正面朝上的次数是偶数的概率

Analysis

即是求：

∑0≤i≤k，i是偶数Cik(qp)i(1−qp)k−i

通分，提出 1pk，得：

1pk∑iqi(p−q)k−i

其中的求和部分，即是求 [q+(p−q)]k 展开式中偶数项的系数和。

求 (a+b)k 的偶数项和可以：

1. 直接通过 (a+b)k+(−a+b)k2 来求；

2. 也可以用 (a+b)k±(a−b)k2 来求

(a+b)k 的通项是 Cikaibk−i

(a−b)k 的通项是 Cikai(−b)k−i=(−1)k−iCikaibk−i

要消去奇数项，就要使得前者 i 为奇数时，后者 k - i 也是奇数

所以当 k 是奇数时，两者相减；而 k 是偶数时，两者相加

Code

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MOD = 1000000007;

int fp(long long a, int b)
{
int r = 1;
for( ; b; b >>= 1, a = a * a % MOD)
if(b & 1)
r = r * a % MOD;
return r;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
int p, q, k;
scanf("%d%d%d", &p, &q, &k);

int a = fp(p, k), // [q + (p - q)] ^ k
b = fp(p - q - q, k); // [-q + (p - q)] ^ k

int ans = (a + b) % MOD;
// ans / 2
ans = (long long)ans * fp(2LL, MOD - 2) % MOD;
// ans / p^k
ans = (long long)ans * fp(fp(p, k), MOD - 2) % MOD;

printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

用第二种的：

/*… 前面相同 …*/

int a = fp(p, k), // [q + (p - q)] ^ k
// q + q - p <= 0，所以要 + MOD
b = fp(q + q - p + MOD, k), // [q - (p - q)] ^ k
ans;

if(k & 1)
ans = (a - b + MOD) % MOD;
else
ans = (a + b) % MOD;
// ans / 2
ans = (long long)ans * fp(2LL, MOD - 2) % MOD;
// ans / p^k
ans = (long long)ans * fp(fp(p, k), MOD - 2) % MOD;

/*… 后面相同 …*/