平方根(sqrt.pas/c/cpp)（数论）

平方根(sqrt.pas/c/cpp)

【问题描述】

给出一个正整数 n (1＜n≤2^31-1)，求当 x,y 都为正整数时，方程 的解中， x 最小值为多

少？

√n=√x-√y

【输入文件】

输入文件只有一行，一个正整数 n。

【输出文件】

输出文件只有一行，即满足条件的最小 x 的值。

【文件样例】

sqrt.in sqrt.out

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【数据规模】

30%的数据满足 1＜n≤10000；

100%的数据满足 1＜n≤2^31-1。

【思路】

这个题刚开始是暴力算法。

X=Y+N+2√(YN)

也就是求使得NY为完全平方数的最小的Y，于是我就用了一个O(N)的算法，最后超时过3个点。

接下来的方法首先是一个推导过程：

X=N+Y+2√(YN)

=(√N+√Y)^2

=(P√Y+√Y)^2

=P^2*Y+Y+2*P*Y

=(P+1)^2*Y

这里的Y就是最小的那个Y，而要求这个Y就是求N%(Y*Y)=0的Y。

最后输出(P+1)^2*Y即可。

【代码】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
long long i,j,m;
long long n;

int r()
{
int ans=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
//      if(ch=='-')
//      f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
ans*=10;
ans+=ch-'0';
ch=getchar();
}
return ans*f;
}

int main()
{
freopen("sqrt.in","r",stdin);
freopen("sqrt.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);
long long now,lsq,y,x;
for(i=(int)sqrt(n);i>=1;i--)
if (n%(i*i)==0)
{y=n/(i*i);
break;
}
x=(i+1)*(i+1)*y;
cout<<x<<endl;

}
/*
1000000000
*/