跳台阶问题--斐波那契数列

本篇文章有两道题。

第一题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

对于本题,前提只有 一次 1阶或者2阶的跳法。

a.如果两种跳法，1阶或者2阶，那么假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1);

b.假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)

c.由a\b假设可以得出总跳法为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)

d.然后通过实际的情况可以得出：只有一阶的时候 f(1) = 1 ,只有两阶的时候可以有 f(2) = 2

e.可以发现最终得出的是一个斐波那契数列：

——– | 1, (n=1)

f(n) = | 2, (n=2)

——– | f(n-1)+f(n-2) ,(n>2,n为整数)

递归法求斐波那契数列：

class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
if (number == 2)
{
return 2;
}
else if (number == 1)
{
return 1;
}
return jumpFloor(number - 1) + jumpFloor(number - 2);

}
};

递归引起一系列的函数调用,并且有可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低.所以能使用循环的，就不要使用递归。

迭代法求斐波那契数列：

class Solution
{
public:
int jumpFloor(int number)
{
if (number == 1)
return 1;
else if (number == 2)
return 2;
else if (number < 1)
return 0;
else
{
int i = 2;
int j = 1;

for (size_t k = 0; k < number - 2; k++)
{
int temp = i;
i = i + j;
j = temp;
}
return i;
}
}
};

第二题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出：

f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

——- | 1 ,(n=0 )

f(n) = | 1 ,(n=1 )

——– | 2*f(n-1),(n>=2)

class Solution {
public:
int jumpFloorII(int number) {
if (number > 1)
return 2 * jumpFloorII(number - 1);
else
return 1;
}
};