bzoj1485 [HNOI2009]有趣的数列

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；

(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；

(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

正解：卡特兰数。

打表以后发现是卡特兰数，然后直接分解质因数求组合数就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define N (1000010)

using namespace std;

int prime
,num
,n,p,cnt,phi,inv,ans;

il int qpow(RG int a,RG int b){
RG int ans=1;
while (b){
if (b&1) ans=1LL*ans*a%p;
a=1LL*a*a%p,b>>=1;
}
return ans;
}

il void divide(RG int n){
phi=n;
for (RG int i=2;i*i<=n;++i){
if (n%i) continue;
while (n%i==0) n/=i;
prime[++cnt]=i,phi=phi/i*(i-1);
}
if (n!=1) prime[++cnt]=n,phi=phi/n*(n-1); return;
}

il void get(RG int n,RG int v){
for (RG int i=1;i<=n;++i){
RG int x=i;
for (RG int j=1;j<=cnt;++j){
if (x%prime[j]) continue;
while (x%prime[j]==0) num[j]+=v,x/=prime[j];
}
if (v==1) ans=1LL*ans*x%p;
else inv=1LL*inv*x%p;
}
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
#endif
cin>>n>>p; divide(p),ans=inv=1;
get(2*n,1),get(n,-1),get(n+1,-1);
for (RG int i=1;i<=cnt;++i)
ans=1LL*ans*qpow(prime[i],num[i])%p;
ans=1LL*ans*qpow(inv,phi-1)%p;
cout<<ans; return 0;
}