codeforces 183d（期望概率dp）

我还是在noip模拟看到这题，看起来就是dp，然而考试时并想不到正解，打暴力居然MLE。dp又不会做……

然后我用了一个上午才YY了出来。

题面

题目描述

你要给N个人准备礼物——T-shirt!但是你不知道他们的尺码……总共有M种尺码，编号从1到M。虽然你不记得每个人准确的尺码，但是你记得对于每一个人i，每一个尺码j，i的尺码正好是j的概率Pij.

现在你要买正好N件T-shirt，求能收到合适尺码礼物的人数的最大期望值。

你送礼物的方式是：从第1个人到第N个人依次询问，如果还有他们的尺码的T-shirt，就送出，否则就不送。

输入格式

第一行有两个整数N，M

接下来有N行，每行有M个整数，第i行的第j个整数表示Pij，用0到1000的整数表示，真实的概率用给出的数字除以1000得到。

保证每一行的整数和是1000。

输出格式

一个实数，即最大期望保留8位小数。

数据范围

50%的数据：1<=n<=500,1<=m<=100

100%的数据：1<=n<=3000,1<=m<=300

缘于我对期望的直觉，我觉得不同T-shirt之间是相互独立的，即对于每件T-shirt，你买多少件，就会产生固定的期望。不同T-shirt产生的期望是可以相加的。

看出了这一点，就可以想暴力了。

由于买多少件，就会产生固定的期望、一共买n件，所以核心算法应该是个分组背包。

所以我们就要求出每件物品，买1~n件分别的期望。

根据期望=概率*件数，对于第k件T-shirt，故我们设f[i][j]表示，假设你买了无限件，在前i个人，能送出j件的概率。

根据字面意思转移，有f[i][j]=f[i−1][j−1]∗a[i][k]+f[i−1][j]∗(1−a[i][k])

设g[i]表示买i件送出件数的期望值，有g[i]=∑j=0ij∗f[n][j]+i∗∑j=i+1nf[n][j]

可以前缀和优化成O(n)

然后就是一个分组背包了。

这样复杂度是O(n^2*m)，MLE的问题可以用滚动数组解决。

我们观察g数组，直觉告诉我们它是个上凸函数，在送礼物给小姐姐时，你送多少和她的美滋滋程度显然不是正比的，证明的话，通过一轮画柿子，就有g[k+1]−g[k]=1−∑i=0kf[n][i]

这个显然是单调的，所以就是上凸的了。

所以若g[i]不选，就不会选g[i+1]，所以选一个算一个就可以了。

复杂度O(n^2+nm)。

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const int N=3030;

int n,m;
int a

;
int num[330];
double f[330]
,g[330],h
,sum[330],gl
,last[330],ans;

void work(int x)
{
num[x]++;
if(num[x]>n)
{
g[x]=0;
return;
}
for(int i=0;i<=n;i++)
h[i]=f[x][i];

f[x][0]=0.0;

for(int i=1;i<=n;i++)
f[x][i]=f[x][i-1]*(1000.0-1.0*a[i][x])/1000.0+h[i-1]*1.0*a[i][x]/1000.0;

gl[x]+=f[x]
;

sum[x]+=f[x]
*num[x];
double now=sum[x]+(num[x]+1)*(1.0-gl[x]);
g[x]=now-last[x];
last[x]=now;
}

int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);

for(int ii=1;ii<=m;ii++)
{
f[ii][0]=1.0;
for(int i=1;i<=n;i++)
f[ii][i]=f[ii][i-1]*(1000.0-1.0*a[i][ii])/1000.0;

gl[ii]=f[ii]
;
last[ii]=g[ii]=1.0-f[ii]
;
}

for(int i=1;i<=n;i++)
{
double mx=0.0,tu;
for(int ii=1;ii<=m;ii++)
if(g[ii]>mx)
{
mx=g[ii];
tu=ii;
}
ans+=mx;
work(tu);
}

printf("%.8lf",ans);

return 0;
}

即使我们手中空无一物，却能因此紧紧相牵。