15、数据结构笔记之十五栈的应用之栈与递归之八皇后问题

15、蛤蟆的数据结构笔记之十五栈的应用之栈与递归之八皇后问题
“人的一生应当这样度过：当回忆往事的时候，他不致于因为虚度年华而痛悔，也不致于因为过去的碌碌无为而羞愧；在临死的时候，他能够说："我的整个生命和全部精力，都已经献给世界上最壮丽的事业--为人类的解放而斗争。”

           继续递归问题，本次是经典的八皇后问题：

 

1.  八皇后问题

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。

八皇后问题的第一个解是在1850年由弗朗兹·诺克给出的。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。

艾兹格·迪杰斯特拉在1972年用这个问题为例来说明他所谓结构性编程的能力。

八皇后问题出现在1990年代初期的著名电子游戏第七访客中。

 

在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图1所示：



 

2.  基本思路

基本思路采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径,类似迷宫。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2)  y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4)  col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) =
4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:



第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

回溯就是对栈的使用，后入先出。

3.  功能函数

基本算法同上面描述，先在[0,0]位置放置一个皇后，数组queue表示每列放置皇后的位置，共8列。在[0,0]放完皇后后，queue的值就是{0,0,0,0,0,0,0,0},在第二列第二排放完皇后后，queue值就是{0,1,0,0,0,0,0,0}了。

判断是否能放的函数是
for(i = 0; i < n; i++)
           {
                     if(queen[i]== queen
|| abs(queen[i] - queen
) == (n - i))
                     {
                               
                                return1;
                     }
           }
此处i是从0到n循环检测，就是从第一行检测到第n行。如果相等queen[i] == queen
，说明在同一行了，肯定不满足条件。abs(queen[i] - queen
) == (n - i) 表示在同一条斜线上,也不满足条件。

如果整列不满足放置皇后的条件，则进行回溯。其实当放完8个皇后成功后也是进行的回溯操作。

4.  Main函数

先初始化棋盘，

初始化棋盘每个地方都为空心,放置棋盘的地方都是实心。

注意这个算法时间复杂度度比较高，棋盘规模调大，小心机器计算时间太长。

int main()
{
           int   iLine,iColumn;        
/*   行      
列*/
           /*初始化棋盘*/
           for   (iLine=0;iLine <max;iLine++){
                     for   (iColumn=0;iColumn <max;iColumn++){
                                Queen[iLine][iColumn]   = 1;

                     }
           }
           put(0);/*从横坐标为0开始依次尝试*/
           printf("theresult is = %d\n", sum);
           return0;
}

 
最后如下图所示：

5.  源码

 

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
#definemax 8
 
 
int queen[max],sum=0;
/* max为棋盘最大坐标*/
int Queen[max][max];
 
 
 
/*输出棋盘状态*/
 
void show_graph()
{
           int   iLine,iColumn;

           for   (iLine=0;iLine <max;iLine++){
                     for   (iColumn=0;iColumn <max;iColumn++){
                                printf("%c",Queen[iLine][iColumn]);

                     }
                     printf("\n");
           }
           printf("\n");
           sum++;
}
 
void show()
/* 输出所有皇后的坐标 */
{
           inti;
           for(i= 0; i <
max; i++)
           {
                     printf("(%d,%d)", i, queen[i]);
           }
           printf("\n");
           sum++;
}
 
 
int check(intn)
/*检查当前列能否放置皇后 */
{
           inti;
           for(i= 0; i <
n; i++)
/* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */
           {
                     if(queen[i]== queen[n]
|| abs(queen[i] - queen[n])== (n - i))
                     {
                               

                               
return1;
                      }
           }
           return0;
}
 
void put(intn)
/*回溯尝试皇后位置,n为横坐标
*/
{
           inti;
           for(i= 0; i <
max; i++)
           {      
                     queen[n]= i;
/* 将皇后摆到当前循环到的位置*/
                     Queen[n][i]=2;//二维数组
                     if(!check(n))
                     {          

                               
if(n==
max - 1)
                                {
                                         
//show();/* 如果全部摆好，则输出所有皇后的坐标*/
                                          show_graph();
                                }        

                               
else
                                {
                                          put(n +1);
/* 否则继续摆放下一个皇后*/
                                }
                     }
                     Queen[n][i]=1;//二维数组
           }
}
 
int main()
{
 
           int   iLine,iColumn;        
/*   行      
列*/
           /*初始化棋盘*/
           for   (iLine=0;iLine <max;iLine++){
                     for   (iColumn=0;iColumn <max;iColumn++){
                                Queen[iLine][iColumn]   = 1;

                     }
           }
 
 
 
           put(0);/*从横坐标为0开始依次尝试*/
 
           printf("theresult is = %d\n", sum);
           return0;
}