HDU - 4549 M斐波那契数列

 M斐波那契数列 HDU - 4549

M斐波那契数列F
是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a

F[1] = b

F
= F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F
的值吗？

输入包含多组测试数据；

每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

对每组测试数据请输出一个整数F
，由于F
可能很大，你只需输出F
对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

0 1 0

6 10 2

0

60

思路：    矩阵快速幂+ 指数循环节；

很容易发现    f(n)=  a^x*b^y； 并且 x,y 满足斐波拉契数列，对于指数循环节

a^b%c == a^(b %phi(c)+phi(c))%c;

其实就是简化  x，y  的值，通俗的讲就是在用矩阵快速幂求斐波拉契数的时候取模，

对于c  ->  MOD  为素数，那么  phi(c)  = MOD-1;

这就解释了为什么矩阵快速幂里面要模 MOD-1  ；

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<set>
#include<algorithm>
#define maxn 10010
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define MOD 1000000007
#define MOD1 1000000006
#define ll long long
using namespace std;

ll Pow(ll a,ll b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a%MOD1;
b>>=1;
a=a*a%MOD1;
}
return ans%MOD1;
}
struct Matrix{
ll mat[2][2];
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b){
Matrix ret;
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j){
ret.mat[i][j]=0;
for(int k=0;k
4000
<2;++k)
ret.mat[i][j]=(ret.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%MOD1+MOD1)%MOD1;
}
return ret;
}
Matrix pow(Matrix a,ll n){
Matrix ret;
memset(ret.mat,0,sizeof(ret.mat));
for(int i=0;i<2;++i)ret.mat[i][i]=1;
Matrix tmp=a;
while(n){
if(n&1)ret=mul(ret,tmp);
tmp=mul(tmp,tmp);
n>>=1;
}
return ret;
}

int main()
{
ll aa,bb,n;
while(cin>>aa>>bb>>n)
{
if(n==0) { cout<<aa<<endl;continue; }
if(n==1) { cout<<bb<<endl; continue; }
if(n==2) { cout<<aa*bb%MOD<<endl ; continue ;}
Matrix a,ans1,b,ans2;
memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));
memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
a.mat[0][0]=a.mat[0][1]=a.mat[1][0]=1;
b.mat[0][0]=1;b.mat[1][0]=1;
ans1=mul(pow(a,n-2),b);
ans2=mul(pow(a,n-3),b);
ll b1=ans1.mat[0][0];
ll a1=ans2.mat[0][0];
ll sum=Pow(aa,a1)%MOD*Pow(bb,b1)%MOD;
printf("%lld\n",sum%MOD);
}
return 0;
}