bzoj 1630 && 2023: [Usaco2005 Nov]Ant Counting 数蚂蚁（有重复元素的组合数）

2023: [Usaco2005 Nov]Ant Counting 数蚂蚁

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Description

    有一天，贝茜无聊地坐在蚂蚁洞前看蚂蚁们进进出出地搬运食物．很快贝茜发现有些蚂蚁长得几乎一模一样，于是她认为那些蚂蚁是兄弟，也就是说它们是同一个家族里的成员．她也发现整个蚂蚁群里有时只有一只出来觅食，有时是几只，有时干脆整个蚁群一起出来．这样一来，蚂蚁们出行觅食时的组队方案就有很多种．作为一头有数学头脑的奶牛，贝茜注意到整个蚂蚁群由T(1≤T≤1000)个家族组成，她将这些家族按1到T依次编号．编号为i的家族里有Ni(1≤Ni≤100)只蚂蚁．同一个家族里的蚂蚁可以认为是完全相同的．
    如果一共有S，S+1…．，B(1≤S≤B≤A)只蚂蚁一起出去觅食，它们一共能组成多少种不同的队伍呢？注意：只要两支队伍中所包含某个家族的蚂蚁数不同，我们就认为这两支队伍不同．由于贝茜无法分辨出同一家族的蚂蚁，所以当两支队伍中所包含的所有家族的蚂蚁数都相同时，即使有某个家族换了几只蚂蚁出来，贝茜也会因为看不出不同而把它们认为是同一支队伍．    比如说，有个由3个家族组成的蚂蚁群里一共有5只蚂蚁，它们所属的家族分别为1，1，2，2，3．于是出去觅食时它们有以下几种组队方案：
  ·1只蚂蚁出去有三种组合：(1)(2)(3)
  ·2只蚂蚁出去有五种组合：(1，1)(1，2)(1，3)(2，2)(2，3)
  ·3只蚂蚁出去有五种组合：(1，1，2)(1，1，3)(1，2，2)(1，2，3)(2，2，3)
  ·4只蚂蚁出去有三种组合：(1，2，2，3)(1，1，2，2)(1，1，2，3)
  ·5只蚂蚁出去有一种组合：(1，1，2，2，3)
    你的任务就是根据给出的数据，计算蚂蚁们组队方案的总数．

Input

    第1行：4个用空格隔开的整数T，A，S，B.
    第2到A+1行：每行是一个正整数，为某只蚂蚁所在的家族的编号．

Output

 
    输出一个整数，表示当S到B（包括S和B）只蚂蚁出去觅食时，不同的组队方案数．
    注意：组合是无序的，也就是说组合1，2和组合2，1是同一种组队方式．最后的答案可能很大，你只需要输出答案的最后6位数字．注意不要输出前导0以及多余的空格．

Sample Input

3 5 2 3

1

2

2

1

3

Sample Output

10

经典题

题意：给你n个集合，第i个集合中有cnt[i]个完全相同的数，总共有p个数(p=∑cnt[i])，要从这p个数中取m个数，然后将这m个数排个序，问能得到多少种不同的序列

dp[i][j]表示前i个集合取j个数的种类数

可以得出转移方程



其中第一维可以滚动数组

如果直接暴力的话复杂度为O(p²)

如果对第二维求前缀和复杂度为O(np)

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000
int cnt[1005], sum[1005], dp[2][100005], sd[100005];
int main(void)
{
int ans, n, m, a, b, x, i, j, k, y;
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &a, &b);
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d", &x);
cnt[x]++;
}
for(i=1;i<=n;i++)
sum[i] = sum[i-1]+cnt[i];
dp[0][0] = 1;
for(i=0;i<=m;i++)
sd[i] = 1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
y = i&1;
for(j=0;j<=sum[i];j++)
{
dp[y][j] = ((sd[j]-sd[j-min(cnt[i],j)-1])%mod+mod)%mod;
/*for(k=min(cnt[i],j);k>=0;k--)
dp[y][j] = (dp[y][j]+dp[y^1][j-k])%mod;*/
}
sd[0] = dp[y][0];
for(j=1;j<=m;j++)
sd[j] = (sd[j-1]+dp[y][j])%mod;
}
ans = 0;
for(i=a;i<=b;i++)
ans = (ans+dp[n&1][i])%mod;
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
/*
3 5 1 5
1
1
2
2
3
*/